Теоретическая механика - Аппель П.
Скачать (прямая ссылка):
В рассматриваемом случае, так как ось стержня в естественном состоянии прямолинейна, то — = 0 и из формулы (1) для пары получаем
Эта пара обращается, следовательно, в нуль одновременно с кривизной. Но мы предположили, что к обоим концам В' и В" стержня приложены две силы Т, равные, противоположно направленные и не образующие пары,
отсюда вытекает, что для обоих концов N=O и — = 0, следовательно, эти
P
концы являются точками перегиба, как указано на рис. 105, а. Когда стержень очень мало отклоняется от первоначальной прямолинейной формы, величина а очень мала. Она равна нулю для прямолинейной формы. Допустим, что стержень может принять волнообразную фигуру равновесия, показанную на рис. 105, а, с п волнами, и определим постоянную а, зная длину I стержня и сила T на обоих концах В' и В". Постоянная с будет тогда известна и равна YBjT. Согласно выражению (4) для ds, дуга AB имеет длину
Po
N = B-P
1
а
Сделаем подстановку
л
cos 0 = 1 — 2 Sin3 — , cos а = 1 — 2 Sin3 -і ,
тогда
а ГЛАВА VIT. ИЗМЕНЯЕМЫЕ. СИСТЕМЫ
201
Обозначим, для краткости, sin ~ = k и сделаем замену переменной
. О
Sin -g- = ku.
Когда 0 изменяется от 0 до а, тогда и изменяется от 0 до 1 и мы имеем
AB = сК,
где
„ Г du
K = / г - 9)
Для всей длины I стержня, равной 2пАВ, получаем
1 = 2псК, К = 4гс. (Ю)
а п
Это уравнение, в котором k = sin -g- неизвестно, определяет угол а. для
того чтобы фигура равновесия с п волнами существовала, необходимо и достаточно, чтобы из этого уравнения получалось для k значение, заключенное между 0 и 1. Но при ? = 0 имеем, согласно равенству (9), K = ^-',
при возрастании k интеграл К постоянно возрастает, так как возрастает подынтегральное выражение, и при k = 1 интеграл К становится бесконечным. Таким образом, когда k изменяется от 0 до 1, интеграл К проходит один и только один раз через любое значение, больше чем я/2. Для того чтобы уравнение (10) имело для k решение, необходимо и достаточно, чтобы
— >-2пс 2
Заменяя с его значением УBjT, находим
т.їВп.1
Т>
P
Таким является условие существования фигуры равновесия с п волнами. Наименьшее значение нижнего предела для T соответствует значению п = 1. Следовательно, для того чтобы существовала возможная фигура равновесия с одной волной, необходимо, чтобы
ri^ P
Если давление T меньше этого предела, то единственно возможной фигурой равновесия будет прямая линия.
154. Стержень, изгибаемый действующим в одной плоскости постоянным нормальным давлением. Эта задача исследована Морисом Леви (Comptes Rendus, т. XCVII, стр. 694); интегрирование по-прежнему выполняется в эллиптических • функциях, как это показано в Traite Альфена и в Principes de Ia theorie des fonctions elliptiques Аппеля и Лякура. 202
ЧАСТЬ ВТОРАЯ. СТАТИКА
УПРАЖНЕНИЯ
1. Натянутая невесомая нить проходит через находящиеся на одинаковых расстояниях неподвижные кольца A1, A2, ..., An. Показать, что если имеет место равновесие, то натяжение постоянно и давление на каждое кольцо Ak обратно пропорционально радиусу окружности, проведенной через это кольцо Ak и через два других соседних с ним кольца Ak-1 и Ак+1. Вывести отсюда предельным переходом закон давления на кривую для невесомой нити, протянутой по этой кривой, по которой она может скользить без трения (Пуансо, Statique).
2. Невесомая нить заданной длины закреплена своими концами в двух неподвижных точках А и В. По этой нити могут скользить без трения два кольца Af1 и Af2, находящихся соответственно под действием сил F1 и F2, заданных по величине и направлению. Найти положение равновесия системы. (Надо воспользоваться сказанным в конце п. 128.)
3. Для веревочного многоугольника, находящегося в равновесии, нужна взять моменты Cpi сил и моменты -Zik натяжений относительно некоторой точки. Показать, что для этих векторов можно построить многоугольник, аналогичный многоугольнику Вариньона, заменив векторы Fi и Tik векторами <Pi И zik.
4. Показать, что если веревочный многоугольник находится в равновесии, то, построив векторы, сопряженные относительно некоторой сферы (мнимой) силам и натяжениям, и прямые, сопряженные сторонам так, как об этом указывалось в упражнении 3 в конце главы I, мы получим новый многоугольник, находящийся в равновесии. Стороны одного многоугольника являются прямыми, сопряженными сторонам второго; вершины одного суть-точки, сопряженные плоскостям, образованным двумя последовательными сторонами другого.
5. Фермы. Теорема Ренкина (см. Philos. Magazine, т. XXVII, 1864, стр. 92; Максвелл, там же, стр. 250). Силы, приложенные к узлам пространственной фермы, находятся в равновесии, когда они перпендикулярны и пропорциональны граням многогранника, ребра которого лежат в плоскостях, проведенных через неподвижную точку О нормально стержням: фермы.
Решение. Предполагая, что многогранник из стержней находится в равновесии, построить многогранник, образованный векторами, сопряженными силам и натяжениям относительно мнимой сферы с центром О в соответствии с методом, указанным раньше (упражнение 3 в конце главы I). (См. статью Гидо Гука, Creiie1 т. 100, стр. 365.)
