Теоретическая механика - Аппель П.
Скачать (прямая ссылка):
169. Простые машины. Простые машины являются системами с полными связями. На машины действуют две силы: одна Р, называемая движущей силой, и другая R, называемая сопротивлением. Для нахождения условия равновесия машине сообщают единственное бесконечно малое возможное перемещение, допускаемое связями. Пусть в этом перемещении SPпроекция на направление P перемещения AA' точки А приложения движущей силы, а оR — проекция на R перемещения BB' точки В приложения сопротивления (рис. 110). Тогда условие равновесия будет
PlP+ RbR = Q. 222
ЧАСТЬ ВТОРАЯ. СТАТИКА
Вводя вместо перемещений возможные скорости, получим условие
PU P+ RVR =0,
R
Ur
где Up— проекция на P возможной скорости U точки А и Vr — проекция на R возможной скорости V точки В. Следовательно, при
равновесии движущая сила и сопротивление находятся в отношении, обратном отношению проекций возможных скоростей точек приложения этих сил на направления сил. Это — то, что Галилей высказал в следующей форме: «То, что выигрывается в силе, теряется в скорости».
Рис. 110. 1°. Клиновий пресс. Клин есть
равнобедренная треугольная призма, зажатая между двумя толстыми досками, из которых одна неподвижна, а другая перемещается горизонтально. Движущей силой является вертикальное давление, действующее на основание клина, которое предполагается горизонтальным. Сопротивлением является горизонтальная сила R, противо-
действующая перемещению горизонтальной подвижной доски. Рассмотрим возможное перемещение, при котором клин переходит из ABC в А'В'С', (рис. 111) опускаясь при этом на
BH= ЬР.
Перемещение bR равно IB' со знаком минус, т. е. если угол С равен 2а, то
5R = — 2577 tg а = — 2ЪР tg а. Следовательно, условие равновесия будет
PbP — 2R tg а ЪР = 0
или
P = 2R tg а.
Применение клина тем выгоднее, чем меньше угол.
2°. Винтовой пресс. Допустим, что движущей силой является сила Р, перпендикулярная оси Bz винта (рис. 112) и приложенная в точке А на расстоя- ГЛАВА VIII. ПРИНЦИП ВОЗМОЖНЫХ СКОРОСТЕЙ
223.
HHH а от этой оси нормально к плоскости AzB, а сопротивление R действует вдоль самой оси. При бесконечно малом повороте 59— единственном перемещении, допускаемом связями, проекция на P дуги винтовой линии, описываемой точкой А, есть дуга круга радиуса а с центральным углом 56:
SP= а 56.
Z і
Что касается br, то оно имеет значение
br = —
А
2я
где А — шаг винта, так как перемещение винта вдоль оси пропорционально его повороту, а шаг А есть значение этого перемещения при полном повороте винта. Условие равновесия имеет вид
Pal
А
2я
» P
I к I
I в\
гД
1 = 0, P =
-R.
2 Tia увеличивать
расстоя-
Рис. 112.
Отсюда следует, что выгодно ние а и уменьшать шаг винта.
3°. Коромысловые весы Квинтенса. Весы состоят из коромысла ABC {рис. 113), вращающегося вокруг точки О и несущего при помощи шарнирно связанных с ним стержней BB' и CC' две горизонтальные платформы, из
которых одна опирается
.-'Г
Ґ
В
-7Г-.
В'
С
Vf Рис. 113.
в / на неподвижное лезвие, а другая в f на лезвие ff', неразрывно связанное с платформой IC'. Взвешиваемое тело помещают на верхнюю платформу и уравновешивают гирей Р, подвешенной в точке А таким образом, что коромысло abc занимает горизонтальное положение. При бесконечно малом повороте 8 В коромысла вокруг оси, очевидно, имеем
IP=OA 56.
Что касается перемещения br, то оно будет зависеть от положения груза на площадке fb', если только эта площадка не перемещается параллельно самой себе, т. е. если точки f и в' не повышаются на одинаковые величины. Чтобы выразить это условие, заметим, что точка В' поднимается на ту же величину, что и в, т. е. на ob S6; точка с поднимается на величину ос 56, на ту же величину поднимается точка с'. Точка f', увлекающая за собой
Tf'
и точку f, поднимается на _— ос В
IC'
дет следующее:
__ _ jf'
ob = oc
Следовательно, искомое условие бу-
if'
OB
IC' IC'
ОС
Оно выражает, что прямые oi и bf' пересекаются на cc'. При таком предположении имеем
о r=ob ВЄ 224
ЧАСТЬ ВТОРАЯ. СТАТИКА
и весы будут в равновесии, если будет выполнено условие РОАЪЬ — ROBbO = O, =
и все происходит так, как если бы взвешиваемое тело было непосредственно подвешено в точке В.
4°. Весы Роберваля. Шарнирный параллелограмм ABCD (рис. 114) может поворачиваться вокруг середин О и О' двух противоположных сторон, причем эти точки лежат на одной вертикали. Стороны AD и ВС будут, очевидно, оставаться вертикальными. Если к ним прикрепить две площадки,
пС
то их возможные перемещения будут равны, но противоположных знаков, так что для равновесия положенных на них двух грузов P и R необходимо, чтобы эти грузы были одинаковы. Так же, как и в случае коромысловых весов, условие равновесия не зависит от положения тел на площадках. Более того, равновесие будет иметь место во всех положениях: оно будет безразличным.
До сих пор мы пренебрегали весом стержней. Так как веса вертикальных стежней AD и ВС одинаковы, то сумма их возможных работ равна нулю и так как веса стержней AB и CD приложены в неподвижных точках О и О', то сумма их работ также равна нулю. В действительности стержни AB и CD заменяются твердыми телами с весами р и р', центры тяжести которых находятся в точках g и g', когда линии AB и CD горизонтальны. Допустим, что равновесие установлено в этом положении. При возможном перемещении системы точки g и g' перемещаются нормально к р и р', описывая дуги окружностей с центрами соответственно в точках О и О'. Следовательно, сумма возможных работ весов будет по-прежнему равна нулю и условием равновесия будет всегда P=R. Только равновесие не будет безразличным, так как в другом положении в расчет войдут работы весов р и р'.
