Теоретическая механика - Аппель П.
Скачать (прямая ссылка):
Рис. 92. ГЛАВА VIT. ИЗМЕНЯЕМЫЕ. СИСТЕМЫ
175
как при изменении х от —со до-)-со угловой коэффициент касательной к цепной линии принимает один и только один раз любое заданное значение. Дуга А' В' будет иметь некоторую длину V. Перенося угол А'Р'В' вместе с дугой А'В' в угол Р, получим дугу цепной линии A''В" длины/', нормальную к обеим заданным прямым и имеющую горизонтальное основание. Искомая дуга AB будет тогда подобна дуге А"В" относительно точки Р, так как касательные к обеим дугам в точках А и А", а также в точках В и В" параллельны. Отношение подобия равно V1I'. Следовательно, достаточно поставить в соответствие каждой точке M' дуги А"В" точку Af * PM I
таким образом, чтобы ^= -р-, и точка M опишет искомую дугу. Решение будет, следовательно, единственным. Более того, мы видим, что если при таких же условиях на двух прямых расположить несколько цепных линий различной длины, находящихся в равновесии, то они все будут подобны относительно точки Р.
141. Центральные силы. Фигура равновесия является плоской кривой и ее плоскость проходит через точку пересечения сил; момент сил натяжения относительно этой точки постоянен.
Эти предложения могут быть рассматриваемы как следствия аналогичных предложений, установленных для веревочных многоугольников, но мы установим их непосредственно.
Мы видели (п. 131), что если момент силы F относительно оси равен все время нулю, то момент силы натяжения относительно этой оси постоянен.
Так как внешние силы пересекаются в одной точке, то мы можем принять эту точку за начало координат. По только что высказанной теоремг, примененной к трем осям координат, имеем:
Умножая эти уравнения соответственно на х, у, г и почленно складывая, получим
Ax+ By+Cz= 0.
Следовательно, кривая равновесия является плоской и ее плоскость проходит через начало координат.
Если эту плоскость принять за плоскость ху и обозначить через F силу, отнесенную к единице длины, считая ее положительной, если она отталкивающая, и отрицательной, если она притягивающая, то проекции этой силы будут
X=F-, Y = F-. г г
Уравнения равновесия могут быть преобразованы следующим образом (рис. 93).
Уравнение моментов относительно оси Oz, как мы установили, дает 176
ЧАСТЬ ВТОРАЯ. СТАТИКА
С другой стороны, имеем
dT +Xdx+Ydy = 0. Вводя полярные координаты г и 6, мы приведем эти уравнения к виду
Tri-=C, dT + Fdr = Q. ds
Наиболее простым будет случай, когда F есть функция от г вида <?(/"). Тогда будет существовать первый интеграл, который легко найти. В самом деле, так так сила F потенциальная, то T получается при помощи квадратуры
г
T = - J <р (/") dr — h = W (/•).
Го
Имея силу натяжения, легко найти дифференциальное уравнение кривой равновесия. Для этого нужно подставить значение T в первое уравнение, которое после этого примет вид
W (г) г* de = CdS. Это уравнение интегрируется в квадратурах. Действительно,
ds* = dr* + /"2 d№.
Подставляя это выражение в предыдущее уравнение, предварительно возведенное в квадрат, и разрешая относительно d6, получим уравнение кривой
г о
Если, например, положить F = k (k — постоянная), то
T = T (г) = — kr — h,
и уравнение кривой будет содержать эллиптический интеграл. Но если приписать силе T значение T = — kr(k< 0), то искомая кривая будет равносторонней гиперболой с центром в точке 0.
Естественное уравнение. Пусть V—угол между касательной к нити и продолжением радиуса-вектора ОМ. Расстояние от полюса О до касательной равно г sin V (рис. 93). Условие того, что момент силы натяжения постоянен, будет иметь вид
Tr sin V= С.
Далее, написав, что проекция силы F на нормаль равна Tjр, получим
Fsin V=—.
P
Исключая T из этих двух уравнений, получим дифференциальное уравнение кривой в виде
Ff г sins V=C.
142. Пример существования бесчисленного множества положений равновесия. Нить закреплена в двух точках оси Ox и каждый элемент нити отталкивается от оси силой, пропорциональной его длине и ГЛАВА VIT. ИЗМЕНЯЕМЫЕ. СИСТЕМЫ
177
расстоянию от этого элемента do оси. Эта задача возникает при нахождении положения равновесия невесомой нити, вращающейся с постоянной угловой скоростью вокруг оси Ox («прыгалки»).
Так как все силы, действующие на нить, пересекают ось Ох, то момент сил натяжения относительно этой оси постоянен вдоль всей нити. Но так как нить прикреплена к двум точкам оси, то момент сил натяжения на концах равен нулю. Следовательно, этот момент будет равен нулю всюду, и мы имеем
откуда
dy dz . —---=0, у = mz,
у Z
где т — постоянная. Отсюда видно, что фигура равновесия находится в плоскости, проходящей через ось Ох. Примем ее за плоскость ху. Тогда сила, действующая на элемент ds, будет перпендикулярна к оси Ох, пропорциональна ординате у и будет отталкивающей
Y ds = цу ds. Уравнения равновесия будут
«НгН
dx
Из первого уравнения имеем T = А, где постоянную А можно всегда
считать положительной, отсчитывая дугу s в направлении, в котором х возрастает вместе с s. Подставляя это значение T во второе уравнение и полагая
