Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Аппель П. -> "Теоретическая механика " -> 70

Теоретическая механика - Аппель П.

Аппель П. Теоретическая механика — М.: ФИЗМАТЛИТ, 1960. — 515 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriticheskayamehanika1960.pdf
Предыдущая << 1 .. 64 65 66 67 68 69 < 70 > 71 72 73 74 75 76 .. 205 >> Следующая


рХ-{- qY + rZ + a (yZ — zY) -+-b (zX— xZ) -+- с (xY — yX) = 0, ГЛАВА VIT. ИЗМЕНЯЕМЫЕ. СИСТЕМЫ

167

где р; q, г, а, Ь, с — постоянные. Заменяя в этом уравнении X через -^Г'---' CvZ — zY)— через (уу— z?)T, мы приведем его к уравнению, проинтегрировав которое, получим рТа -j- qTfi + гТу+аТ (_уТ — z$)+bT (za — х^+сТ (x? —уа.) = const.

Это уравнение выражает, что относительный момент (п. 28) натяжения и системы векторов, имеющих координаты р, q, г, а, Ь, с, постоянен. (Пеннакьетти, Rendiconti del Circolo math, di Palermo, т. VI.)

132. Общие интегралы. Наиболее общим случаем является тот, когда сила F, отнесенная к единице длины, зависит от положения и направления в пространстве элемента ds и от его положения на

нити. Тогда X, Y, Z будут функциями от х, у, z, s, , ,

При этих условиях написанные выше три уравнения равновесия (3) совместно с уравнением

образуют систему четырех дифференциальных уравнений, определяющих X, у, Z и T в функции«. Это — уравнения первого порядка относительно Т, но второго относительно X, у, Z. Следовательно, их общий интеграл содержит шесть произвольных постоянных, в качестве которых могут быть, например, приняты значения шести величин X, у, г, Т, при начальном значении S = S0. Таким образом, в общем случае

X — <р (s, C1, C2.....Ce),

y = C1, C2.....Ce),

2 = u)(s, C1, C2, ..., C6), r = /(s, C1, C2.....C6).

133. Определение постоянных, условия на концах. Шесть произвольных постоянных можно определить по условиям на концах. Эта задача будет наиболее простой для случая нити заданной длины/, закрепленной своими концами М0(х0, у0, z0) и Ml^x1, ylt Z1). Приняв точку M0 за начало отсчета дуг и написав, что при s = O и при S = I величины X, у, г обращаются в координаты точек M0 и M1, мы получим шесть уравнений для определения шести постоянных. Далее необходимо будет исследовать эту систему, которая может допускать одно, два и даже бесчисленное множество решений.

Можно также предположить, что нить закреплена на одном конце М0(х0, у0, Z0), а на другом имеет бесконечно малое колечко, 168

ЧАСТЬ ВТОРАЯ. СТАТИКА

которое может скользить без трения по неизменяемой кривой С, заданной уравнениями

ф(*.-У. 2) = о. } с

у, 2) = 0. } ( '

Тогда три уравнения для определения постоянных получатся из условия, что при s = 0 величины X, у, Z равны xQ,yQ,zQ. Остальные уравнения определятся из условий, что при s = I значения Jc1, yv Z1 величин je, у, г удовлетворяют уравнениям (С) кривой и что направление натяжения, т. е. касательной в точке M1, нормально к этой кривой, так как кольцо может скользить без трения. Таким путем получится шесть уравнений для определения постоянных.

Точно так же, если конец M1 нити может двигаться без трения по заданной поверхности, то надо выразить, что при S = I значения jc1, уг, Z1 удовлетворяют уравнению поверхности и что касательная в точке M1 к ней нормальна.

134. Случай, когда сила не зависит от длины дуги. Часто случается, что X, V, Z не содержат явно s. Заменяя тогда всюду в равенствах (3) ds через Y^dx2 -f-dy2 + dz2, можно будет принять х в качестве независимой переменной и тогда получатся три уравнения для определения у, Z и T в функции je. Общий интеграл будет тогда содержать только пять постоянных, например значения, которые при-

„ dy dz „

нимают у, z, Т, -J^t при начальном значении Jc = Jc0. Пусть

у= ср (je, C1, C2.....C6),

2 = ^ (je, C1, C2.....C6),

T = f{x, C1, C2.....Съ)

— общие интегралы. Если мы захотим выразить, что нить имеет заданную длину и закреплена своими двумя концами в точках (х0, у0, Z0) и (jc1, ylt Z1), то нужно выразить, что величины у, Z принимают значения у0, Z0 при Jc = Jc0 и значения ylt Z1, при Jc = Jc1 и что длина нити равна I. Мы получим пять уравнений, необходимых для определения постоянных.

135. Замечание о натяжении. Найденное решение будет неприемлемо, если T не будет положительным во всех точках кривой, так как если для какого-нибудь элемента натяжение T будет отрицательным, то этот элемент будет испытывать сжатие, а не натяжение. Можно истолковать решение, в котором T отрицательно, если предположить, что на нить нанизаны бесконечно малые твердые бусинки. Каждая такая бусинка будет испытывать давление со стороны предыдущей и последующей и равновесие будет осуществлено (Пуансо).

136. Естественные уравнения равновесия нити. Так называют уравнения равновесия, не зависящие от выбора осей координат. Мы уже обозначили через а, ?, у направляющие косинусы касательной Afif ГЛАВА VIT. ИЗМЕНЯЕМЫЕ. СИСТЕМЫ

169

в направлении возрастающих дуг; обозначим через а', ?', у' направляющие косинусы главной нормали Ми, направленной в сторону вогнутости (рис. 90), и через р — радиус кривизны. Известны формулы Френе и Серре:

^T _ТІ

ds р ' ds p ' ds p и, следовательно, первое уравнение равновесия

может быть написано в следующем виде

dT . T v _

rj.~r-\--л A-X= 0.

ds ' р '

Таким образом, получаем три уравнения

v dT ,T

X= — а --а —,

ds р

dT ds"

L р

dT_ ,T_
Предыдущая << 1 .. 64 65 66 67 68 69 < 70 > 71 72 73 74 75 76 .. 205 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed