Теоретическая механика - Аппель П.
Скачать (прямая ссылка):
Yds = —pds, Y = — p и уравнения равновесия будут:
T^ = A, ds
Ady' —pds = 0.
(1)
(2)
Можно всегда предполагать, что А — число положительное. Действительно, T — существенно положительно; следовательно, если на кривой выбрать такое направление обхода, чтобы х и s возрастали одновременно,
то производная -^j будет положительной и постоянная А будет, вследствие
этого, тоже положительной. Мы можем обозначить ее через ра, где а —
положительная величина. Заменим ds его значением
ds=+ Vl + У'2 dx.
Тогда уравнение примет вид
dy'__ dx
./2 а
.1/ P,(a,?)
У; / і
о / X
Vl
Vl +;
O1 О Рис. 91.
X,
Интегрируя, найдем
У' + Vl+у'2 = «¦'
Отсюда следует, что
у' -Vi+7'2= -t
(3)
(4)
Складывая эти два уравнения, получим у' уравнение кривой
и, снова интегрируя, найдем
У-Уо = у
X-Xr, X—,
Перенесем начало в точку O1 (jc0, у0) (рис. 91); тогда новое уравнение кривой будет
Ух = -7Г\е ~е
Это — уравнение цепной линии, которая симметрична относительно оси Oj.yj; ось OiX1 называется ее основанием.
Вычитая уравнение (4) из уравнения (3), получим
Vl + y'2=l\e
CC CC rj CC —" CC
= h а ГЛАВА VIT. ИЗМЕНЯЕМЫЕ. СИСТЕМЫ 173
а из формулы (1) получим для натяжения
T=AdJ- = A V\+y* = A її = рУі.
Отсюда мы видим, что натяжение нити в точке M равно весу части нити, длина которой равна ординате MQ этой точки над базой. Следовательно, если в точке M поместить бесконечно малый блок и дать возможность части нити, расположенной выше точки М, свободно свешиваться, то равновесие не нарушится, если свешивающаяся часть будет равна MQ.
140. Определение постоянных. 1°. Концы закреплены. Уравнениз цепной линии содержит три постоянных х0, у0, а, которые определяются из условий на концах. Согласно принятому ранее условию постоянная а должна быть положительная. Примем за начало О точку закрепления, расположены}™ более низко, и направим ось х таким образом, чтобы вторая точка закрепления P находилась в квадранте между положительными координатными осями. Пусть а и ? — координаты этой точки, I — длина нити (рис. 91). Напишем условия, выражающие, что кривая проходит через обе точки О (0, 0) и P (а, ?):
а
Уо = -2[еа+еа, (1)
а
?-Уо = ay +е J- (2)
Чтобы получить третье уравнение, напишем, что нить должна иметь длину I. Имеем
(CD~~CCr\ CC ~~ CDq \
+ г J dx,
и, интегрируя в пределах от 0 до а, получим длину нити:
(а —х„ a —Xn X0 ХЛ
е~ + (3)
Вычитая равенство (1) из равенства (2), мы исключим у0 и получим
/ а—х„ a—Xr, Х„ Х„\
P= f^-5""+'""-'"5"-«'1J- (4)
Уравнения (3) и (4) определяют а и х0. Из них легко находим:
/ х-х„ _Х\ _Ж„/ а_ \
1 + Ч> = а\е а —е а) = ае а[еа—\)'
/ Xs а-Ж3\ X../ _а\
1—р=а\еа—е а ) = аеа[\—е aJ. Для исключения X0 достаточно почленно перемножить эти равенства. Тогда
/2_p2 = as(e« —2). ( -
Скобка равна квадрату величины \е2а — е 'iaJ; следовательно, 174
ЧАСТЬ ВТОРАЯ. СТАТИКА
Может показаться, что следует рассматривать два знака. Но согласно
( -
выбору осей величины а и а, и поэтому также а\е2а— е 2aJ, должны быть положительными, вследствие чего надо брать только знак +. Положим
=u. Неизвестная и положительна и для нее уравнение имеет вид
Yp-
а 2 U
Нам нужно найти положительные решения этого уравнения. Заменяя его правую часть разложением в ряд, получим
YP—Р и2 , и*
1 +
1-2-3 1 1-2-3-4-5
(2л+1)!
Здесь правая часть монотонно возрастает от 1 до бесконечности, когда и возрастает от 0 до бесконечности. Вследствие этого для того, чтобы существовал положительный корень, необходимо и достаточно, чтобы левая часть была больше 1. В этом случае уравнение будет иметь один и только один положительный корень. Следовательно, единственным условием возможности задачи будет
> і, / > Y^ + ?2.
т. е. длина нити должна быть больше расстояния между точками подвеса. Если это условие выполнено, то можно будет определить и и, проследив за всем ходом вычислений, можно легко убедиться, что для трех постоянных а, х0, у0 будет получаться одна-P единственная система значений. Следова-
тельно, в этом случае существует одно и только одно положение равновесия.
Пусть и' — положительный корень уравнения для и. Это уравнение имеет также отрицательный корень — и'. Пуансо интерпретирует это решение следующим образом: перевернутая цепная линия, для которой и = — и, является фигурой равновесия особого свода, образованного равными бесконечно малыми, идеально отполированными твердыми шариками.
2°. Концы скользят по двум прямым. Допустим, что однородная тяжелая цепочка имеет длину I и что ее концы А и В скользят без трения по двум данным прямым PQ и PR, расположенным в одной вертикальной плоскости (рис. 92). Требуется определить постоянные Jf0- Уо> а таким образом, чтобы цепная линия пересекала обе прямые линии под прямым углом и чтобы ее дуга AB между этими линиями имела заданную длину I.
Предлагая аналитическое решение в качестве упражнения, мы дадим здесь геометрическое решение задачи. Мы будем основываться на том, что две цепные линии, имеющие параллельные основания, подобны, и что, наоборот, фигура, подобная цепной линии с горизонтальным основанием, является другой цепной линией, расположенной таким же образом. Вообразим вспомогательную цепную линию С" с горизонтальным основанием и проведем к ней две нормали A'P' и В'P', параллельные заданным прямым QP и RPt что всегда возможно и притом единственным образом, так
