Теоретическая механика - Аппель П.
Скачать (прямая ссылка):
Пример. Система шести невесомых стержней, образующих правильный шарнирный тетраэдр SABC (рис. 88), подвешена с помощью трех вертикальных нитей AA', BB', CC' так, что основание ABC горизонтально. 164
ЧАСТЬ ВТОРАЯ. СТАТИКА
К вершине S подвешен груз Р. Найти натяжения нитей и силы растяжения и сжатия стержней. Обозначим через 6 общее значение трех сил, растягивающих стержни S-Д, SB, SC. Проектируя на вертикаль и приравнивая нулю'
сумму проекций трех сил 6 и силы Р, приложенных в узле S, получим
Рис.
Р— 6/6=0, 6 =
pY б
так как косинус угла между ребром 5Л и
вертикалью равен ^f . Стержни основа-о
ния испытывают сжатия; обозначим че' рез р общее значение этих сжимающих сил, а через T— общее значение натяжений нитей AA', BB', CC'. Точка А находится в равновесии под действием силы 6, натяжения T и двух сил р. Проектируя эти силы на вертикаль AA', получим:
)/6 P 3 ~ 3 '
T =
что ясно непосредственно, так как три силы T уравновешивают груз Р. ,Проектируя далее четыре силы, приложенные в точке А, на высоту AD треугольника ABC, получим
0/3
так как cos DAB —
/3
cos SAD =
Y з
II. Равновесие нитей
130. Уравнения равновесия. Найдем условия равновесия нерастяжимой, гибкой нити, находящейся под действием непрерывных сил. Эта задача может рассматриваться, как предельный случай веревочного многоугольника, но мы рассмотрим ее непосредственно.
Обозначим через s длину дуги, отсчитываемую от какого-нибудь начала А в каком-нибудь определенном направлении AB (рис. 89). Мы будем предполагать, что внешние силы, действующие на элемент ds. могут быть представлены в виде одной силы Fds, порядка ds, приложенной в какой-нибудь точке этого элемента, Проекции этой силы будут
Xds, Yds, Zds,
где X, Y, Z—-проекции вектора F, называемого силой, отнесенной к единице длины.
Если отбросить часть нити MB и рассматривать оставшуюся часть AM, то для сохранения ее равновесия необходимо будет ГЛАВА VII. ИЗМЕНЯЕМЫЕ СИСТЕМЫ
165
приложить в точке M одну-единственную силу T, так как нить предполагается идеально гибкой. Сила T называется натяжением нити. Обозначим через а, ?, у направляющие косинусы этого натяжения; его проекции суть
T а, T?, Ту.
Если же, разрезав нить в точке Л1, отбросить часть MA, то согласно закону равенства действия и противодействия, для сохранения равновесия части MB необходимо приложить в точке M силу — Т. Проекции этого нового натяжения равны
— Та, — T?, —Ту.
Разрежем нить в двух бесконечно близких точках M и M1 и сохраним только элемент MM1. Этот элемент будет в равновесии под действием приложенной к нему силы Fds и дізух натяжений —T и T1, котфрые заменяют действие отброшенных частей нити. Если
через Si1, P1, обозначить напразляющие косинусы натяжения T1, то его проекции будут
7>„ Tji1, T1J1.
Напишем, что суммы проекций трех сил равны нулю. Тогда, замечая, что
Tfr-Ta = d {Tz). T1^1-Ц = Tlll- Ту = d (Ту),
Рис. 89.
получим
d (Та) + Xds = O1 \
d(T$)-+Yds = 0, (1)
d (Ty )^r Zris = O. J
Моменты трех сил —Т, T1 и F ds относительно оси х равны, соответственно,
— (уТу—гЩ, yj^ — zj.^, (yZ-zY)ds,
где через X, у, z и X1, yv Z1 обозначены координаты концов дуги ds. Следовательно, сумма моментов сил —T и T1 равна d(yTy — z T?) и по теореме моментов имеем:
d(y Ty-zT$)-\-(yZ — zY)ds= 0 d(zTa — X Ty)-\-(zX— xZ) ds = 0 d (X 7? — у Ta.) + (xY — yX) ds = 0.
(2) 166
ЧАСТЬ ВТОРАЯ. СТАТИКА
Развертывая первое из уравнений (2), можем написать
Tidy +у d(Ji) — Tfidz — zd (Гр) + (у Z — zY) ds = 0.
В силу уравнений (1) члены с у и z уничтожаются, и тогда остается
= df = d-f.
Второе из уравнений (2) показывает, что
dx_dy _dz
——у —Y''
это означает, что натяжение направлено по касательной к кривой. К этому же результату можно прийти, рассматривая нить как предел веревочного многоугольника. Общее значение трех отношений равно, очевидно, ± ds; но натяжения должны быть направлены так, чтобы нить растягивалась. Для этого натяжение T должно быть направлено в сторону возрастающих дуг. Поэтому надо взять знак Следовательно,
_dx Q_rfy _ate
ds' P ds' 7 ds '
Внеся эти выражения в уравнения (1), получим: d{T^) + Xds = 0'
d(Tin)+Yds = 0-
d(T§)+Zds = o>
(3)
н зраьнения (2) являются следствиями уравнений (3).
131. Общие теоремы. Из уравнений (1) и (2) непосредственно получаем две следующие теоремы.
Если сила F перпендикулярна какой-нибудь оси, например оси Ох, то проекция натяжения на эту ось постоянна. Действительно, из условия X=Q получается Ta=Const.
Если сила F постоянно находится в одной плоскости с какой-нибудь осью, например с осью Ох, то момент натяжения относительно этой оси постоянен. Действительно, из условия уZ — zY = Q получается у Tf — zTfi = const.
Эти две теоремы являются частными случаями следующей.
Если сила F всюду вдоль кривой принадлежит линейному комплексу, то момент натяжения относительно комплекса постоянен. В самом деле, если сила принадлежит линейному комплексу, то должно выполняться уравнение вида
