Теоретическая механика - Аппель П.
Скачать (прямая ссылка):
дх' ду' dz т
Можно считать, что нить находится в равновесии под действием сил Fds и Nds, имеющих равнодействующую Фds. Применяя общие формулы равновесия нитей, имеем три уравнения
"(7W)+**+^*=0-
(1)
которые совместно с уравнениями
определяют X, у, Z, T и X в функции S. Когда X. известно, то известной будет также и нормальная реакция, которая направлена относительно поверхности /=0 в сторону, где / положительно или отрицательно, в зависимости от того, будет ли А положительно или отрицательно. Так же, как и для свободной нити, если X, Y, Z ГЛАВА VIT. ИЗМЕНЯЕМЫЕ. СИСТЕМЫ
181
не содержат явно s, можно привести число неизвестных к четырем, заменяя везде ds через
V dx2 + dy2 -(- dz2
и вычисляя, например, z, у, Т,\ в функции х.
Для нахождения натяжения в общем случае мы имели
dT = — (X dx + Ydy + Z dz). (2)
Здесь эта формула переходит в следующую:
Так как нить лежит целиком на поверхности, то коэффициент при X обращается в нуль и остается та же формула (2), что и для свободной нити. Если имеется силовая функция U (х, у, z), то
dT = — dU, T = — (U + h).
Например, если положить тяжелую однородную нить на поверхность, .то, направляя ось Oz вертикально ваерх, найдем, что сила F параллельна этой оси, направлена в противоположную сторону и равна по абсолютному значению весу р единицы Д\ длины нити. Тогда
dT = pdz, Т = р(г — Л).
Рассмотрим плоскость z = h. Только что полученная формула показывает, что натяжение в точке M (рис. 96) равно весу части нити, равной расстоянию MQ от точки M до этой плоскости. Если, следовательно, удалить часть MB нити и оставить свешиваться через блок в точке M часть нити, равную MQ, то равновесие не нарушится.
144. Примеры. 1°. Геодезические линии. Наи- рис gg
более простым будет тот случай, когда на нить, растянутую на поверхности, не действуют никакие
другие силы, кроме нормальной реакции N. Тогда предыдущее уравнение переходит в fiJ7" = 0 и натяжение нити получается постоянным. Нить расположится по геодезической линии поверхности. Действительно, так как соприкасающаяся плоскость в какой-нибудь точке должна содержать силу N, то она будет нормальной к поверхности, что характеризует геодезическую линию.
Применим это к сфере. Так как реакции проходят через центр, то нить находится под действием центральных сил. Следовательно, ее фигура равновесия лежит в плоскости, проходящей через центр, и будет поэтому дугой большого круга.
Известно, что линия наименьшей длины, соединяющая две точки на поверхности, является одной из геодезических линий, проходящих через эти точки. Однако было бы неточным сказать, что каждая из геодезических линий будет минимальной по сравнению с бесконечно близкими линиями. Например, дуга большого круга, большая 180°, соединяющая две точки на сфере, является геодезической линией. Между тем возможно найти между этими двумя точками путь бесконечно близкий и в то же время более короткий. Наоборот, на замкнутом цилиндре все геодезические линии, 182
ЧАСТЬ ВТОРАЯ. СТАТИКА
являющиеся винтовыми линиями, будут минимальными. Существует бесчисленное множество этих линий, соединяющих две точки на поверхности. Их можно получить, натянув по поверхности между этими точками нить и обернув ее один, два, ... раза вокруг цилиндра.
2°. Сферическая цепная линия. Фигура равновесия однородной тяжелой нити на сфере была исследована Бобилье (Жергоннь, 1829), Миндингом (Crelle, т. 12) и затем Гудерманом (там же, т. 33), который дал выражения интегралов при помощи эллиптических функций. Решение было дополнено Клебшем (Crelle, т. 57, § 6), Бирманом (Dissertation inaugurale, Берлин, 1865) и Шлегелем (Programm des Koniglichen Wilhelms Gymnasium, Берлин, 1884).
Приняв центр сферы за начало координат, направив ось г вертикально вверх и, обозначив через р вес единицы длины нити, получим сначала для натяжения T значение p(z— h) (п. 143). Так как равнодействующая сил (веса и реакции), приложенных к ds, находится все время в одной плоскости с осью Oz, то момент натяжения относительно этой оси постоянен. Следовательно, взяв B ПЛОСКОСТИ X Oy полярные координаты гиб, получим
Tr2 dQ = Cds,
где С — произвольная постоянная. Заменив в этом уравнении T его значением и написав А вместо С, получим дифференциальное уравнение фигуры равновесия
(г — h) г2 de = A ds.
Для интегрирования этого уравнения возведем его в квадрат и заметим, что вследствие соотношения
г = YaI-Z2,
где а — радиус сферы,
ds2 = dr2 + г2 de2 + dz2 = a'drf. + r2 de*. Разрешая относительно de, получим
Aa dz
de :
(a2 — z2) Y(h — z)i (ai — z2) — A2 '
откуда определяем выражение 0 через z при помощи квадратуры. Переменная г может принимать лишь такие значения, для которых многочлен
<р (г) = (h — zf (а2 — г2) — A2
положителен. Следовательно, обозначая через Z0 координату z какой-нибудь точки нити, например одной из точек закрепления, имеем f (z0) >0. Но ? (а) и tp(—а) отрицательны, и поэтому многочлен y(z) имеет один корень а между Z0 и а и один корень ? между Z0 и — а. Переменная z может изменяться только между пределами аир. Кривая на сфере расположена между двумя параллелями аир, которых она попеременно касается. Координаты X, у, г точки кривой можно выразить через однозначные функции параметра и, определяемого уравнением
