Теоретическая механика - Аппель П.
Скачать (прямая ссылка):
ЧАСТЬ ВТОРАЯ. СТАТИКА
линии снлы F5, которая равна и прямо противоположна этой равнодействующей. Построенный многоугольник будет, следовательно, замкнутым.
Построенный таким образом многоугольник M1 Mi... Ms называется веревочным многоугольником, соответствующим точке А. Если предположить, что точки M2.....Mb заменены материальными точками, а стороны M1M2, MiM3..... JW5JW1 — нерастяжимыми нитями, и перенести все
силы в точки jw1, jW2,..., jW5, то получится находящийся в равновесии замкнутый веревочный многоугольник, в котором натяжение стороны MrMs равно и параллельно отрезку (г, s). Может случиться, что некоторые из сторон подвержены сжатию; тогда необходимо заменить их твердыми стержнями. Это имеет место на рис. 84 для сторон Af1JW5 и jWr,jW4.
Если взять другую точку А', то ей будет соответствовать другой веревочный многоугольник M1M2M3 ... Соответствующие стороны этих многоугольников, как было показано, пересекаются на прямой Д, параллельной AA'.
Если бы силы F1,..., F5 вместо того, чтобы находиться в равновесии, приводились к паре, то это обнаружилось бы при построении, так как Lt1M1 и jW4N6 не пересекались бы на линии силы Fb и равнодействующая R сил F1, F2, F3, Fi лежала бы на прямой, параллельной силе F5, но не совпадающей с ней.
3°. Частный случай. Пример взаимных фигур. Допустим, что силы F1, F2,..., Ff,. находящиеся в равновесии, пересекаются в одной точке О
(рис. 86). Веревочный многоугольник (О) jw1 jWq ... jW5, построенный указанными выше приемами, и многоугольник Вариньона (A)A1 A2... Ab будут тогда взаимными. Под этим надо понимать следующее. В веревочном многоугольнике JW1JW3... jW5 натяжения 7"21,
' з?> • • • ¦
7"15 сторон JWqjW1, М.М.
¦2, .
jWjjW5 соответственно равны и параллельны диагоналям AA1, AA-,, ..., AAi многоугольника Вариньона. Приложим в вершинах A1, A2, ..., A5 многоугольника Вариньона вдоль каждой из этих диагоналей силы P1, P2,..., Рь, равные и параллельные соответствующим сторонам jW2jWt, jW3jW3.....JW1JW5
веревочного многоугольника, и заменим стороны A1A2, A2A3,..., A5A1 нитями. Построенный таким образом новый веревочный многоугольник A1A2 ... A5 будет в равновесии, и натяжения сторон 1,2,3,... будут равны и параллельны диагоналям OM1, OM0, ... первоначального веревочного многоугольника, который, таким образом, является многоугольником Вариньона для нового г.еревочного многоугольника. Короче говоря, каждый из двух веревочных многоугольников (j4) и (О) является многоугольником Вариньона для другого.
128. Кольца, скользящие на нити. Допустим, что гибкая нерастяжимая нить закреплена своими концами в двух неподвижных точках А и В и что по ней могут скользить без трения бесконечно малые кольца. К этим кольцам приложены известные силы. Нужно найти положение равновесия системы.
Если имеется только одно кольцо С (рис. 87), то сила F должна быть Сцссектрисой угла АСВ. Это вытекает из того, что кольцо С может рассматриваться как точка, скользящая без трения по эллипсу с фокусами ГЛАВА VIT. ИЗМЕНЯЕМЫЕ. СИСТЕМЫ
163
в точках А и В, причем сила должна быть нормальна к эллипсу и направлена наружу, т. е. так, чтобы нить натягивалась. Давление кольца на нить будет тогда равно силе F. Элемент нити, находящийся в точке С, будет находиться под действием двух натяжений Г и Г' и силы F. Так как последняя является биссектрисой угла между силами T и T' и должна их уравновесить, то эти натяжения равны между собой
: 27" cos J.
Теперь можно без труда исследовать случай нескольких колец. Если имеет место равновесие, то каждая из сил направлена по биссектрисе двух частей нити, примыкающих к соответствующему кольцу, натяжение T нити везде оди-
наково и
если F-,, F2,
действующие
силы, Ct1, O2, ... — последовательные между частями нити, то (Пуансо)
углы
2 cos J
2 cos
2
Так как система находится в равновесии, то последнее, очевидно, сохранится, если каждое кольцо закрепить в занимаемом им положении. Следовательно, к этой фигуре равновесия можно применить все, что сказано относительно веревочных многоугольников. Для рассматриваемого случая все натяжения одинаковы и все
вершины Ах, A2, A9
веревочного многоугольника (рис. 79), кроме
вершины А, лежат на сфере с центром в вершине А. Если многоугольннк плоский, то все вершины находятся на окружности с центром в точке А.
129. Фермы. Рассуждения, аналогичные тем, которыми мы пользовались для веревочных многоугольников, приводят к условиям равновесия ферм, т. е. систем прямолинейных стержней, весом которых пренебрегаем, соединенных своими концами при помощи шарниров. Предполагается, что вся система находится под действием сил, приложенных только в шарнирах (иначе, в узлах). Так как каждый из стержней, например AB, должен находиться самостоятельно в равновесии под действием двух сил, приложенных к его концам, то эти силы, являющиеся действиями узлов А и В на стержень, должны приводиться к двум равным и противоположно направленным сжатиям или растяжениям. Каждый узел будет находиться в равновесии под действием непосредственно приложенных к нему сил и реакций примыкающих к нему стержней. Последние направлены вдоль соответствующих стержней, так как по закону равенства действия и противодействия действия стержней на узлы равны и противоположны действию узлов на стержни.
