Теоретическая механика - Аппель П.
Скачать (прямая ссылка):
Xi =Ss-JC'+ es,
Ух = У + Sx = Z + є:
с той только разницей, что е;, ет), еС не обращаются больше й нуль на пределах а и Ь, ко при q = а имеют значения (ES)1, (et,)., (EC)1, равные проекциям на оси координат отрезка AAx, а при q = Ь — значения (eS)a, (ет)).>, (е')?, равные проекциям отрезка BBx- Разность Z1— / значений интеграла J* о ds вдоль кривых С| и С по-прежнему определяется из формулы (2),
в которой проинтегрированная часть, образующая первый член, не равна больше нулю, в то время как интеграл J, стоящий во втором члене, равен нулю, так как кривая С удовлетворяет, по предположению, уравнениям (3) и все элементы интеграла J равны нулю. Следовательно, пренебрегая а формуле (2) членом второго порядка малости Z2K, имеем
о
,, I /„ dx , dy . _ dz \ Ii — 7 = 57 = е ; —— + ті -f- + С -г- <р.
1 j \ ds л 1 ds ds }т
а
Значения eS, єтг), еС на пределах а и Ь указаны выше; обозначим через <f (А) и у (В) значения функции f в точках А и В", заметим,
dx dy dz а
наконец, что так как > > ^r СУТЬ направляющие косинусы a, р, ^
касательной MT к кривой С, направленной в сторону возрастания дуги, т. е. от А к В, то значения указанных величин на обоих пределах равны направляющим косинусам Ci1, P1, Yi и а2, ?3, -f2 двух касательных ATi и BTo на обоих концах. Следовательно, для о7 получается выражение
67 = I(ES)2 а2 + (E11)3 |32 + (еС)8 Y2J ? (В) - [(Et)1 OC1 + (ET1)1 P1 + (E^)1 ft] ? (А), ГЛАВА VIT. ИЗМЕНЯЕМЫЕ. СИСТЕМЫ
189
которое имеет простую геометрическую интерпретацию. Величина
(е?)2 Ci2 + (етІ)2 + (Е^)а Ь Представляет собою проекцию отрезка BB1 на касательную BT2; она равна BBі cos T2BB1; точно так же вторая величина, содержащаяся в о/, равна AA1 cos T1AA1. Окончательно,
Ы = BBtf (В) cos Т\ВВХ — AALw (A) cos Т\ААЬ
или в более симметричной форме
6/ = — Z^1Cf (.4) cos BAA1 — BBtf (?) cos ABB1, (4)
так как угол ABB1 является дополнительным к углу T2BB1, а угол BAA1 равен углу T1AA1.
Формула (4) Тэта и Томсона совершенно аналогична хорошо известной элементарной формуле, выражающей изменение длины отрезка прямой, и получающейся из этой при <р = 1 (см. Бертран, Курс дифференциального исчисления, стр. 22).
Следствия, которые получаются из формулы (4), тождественны с теми, которые выводятся из аналогичной формулы для прямих в теории разверток и в теории параллельных кривых и поверхностей. Мы укажем здесь те следствия, которые приводят к интересным результатам в теории брахистохрон, в. теории принципа наименьшего действия и в задаче рефракции. Мы предполагаем в последующем, что функция ср не обращается в нуль в рассматриваемой области пространства.
1°. Приложение. Даны две поверхности S и I. Какую кривую нужно провести от одной поверхности к другой, для того, чтобы интеграл I, взятый вдоль этой кривой, имел максимум или минимум? Пусть А и В р «00 (рис. 100) — две неизвестные точки, ис' в которых искомая кривая пересекает
обе поверхности. В частности, эта кривая будет одной из rex, соединяющих точки А и В, которые обращают интеграл / в максимум или минимум. Следовательно, это — одна из кривых С, определяемых уравнениями (3). Для определения точек А и В заметим, что при переходе от кривой АСВ. которая обращает интеграл / между двумя поверхностями в максимум или минимум, к произвольной бесконечно близкой кривой, и, в частности, к другой бесконечно близкой кривой С, вариация о/ должна быть равна нулю. Вычислим эту вариацию при переходе от кривой ACB к другой бесконечно близкой кривой С; пусть это будет кривая AEB1, которая выходит из той же самой точки А и оканчивается в точке B1 поверхности 2. Тогда на основании полученной выше формулы
S/ = — BBtf (В) cos ABB1.
Так как вариация Ъ/ должна быть равна нулю, то нулю должен быть равен косинус. Следовательно, угол ABB1 должен быть,прямым для всех подожений точки B1 на поверхности 2 и искомая кривая С нормальна к . этой поверхности. Точно так же она нормальна и к поверхности S. В частности, если ср = 1, то получается известный элементарный результат, 190
ЧАСТЬ ВТОРАЯ. СТАТИКА
заключающийся в том, что для нахождения кратчайшего расстояния между S и 2 нужно провести общую нормаль к обеим поверхностям. Отсюда видно, что искомая кривая является фигурой равновесия нити, концы которой скользят без трения по двум поверхностям, причем натяжение равно tp и силовая функция равна —ср. Очевидно, что та же теорема будет справедлива, если одну из поверхностей заменить неподвижной кривой или точкой.
2°. Теорема Тэта и Томсона. Если рассматриваются кривые С, выражаемые уравнениями (3) и нормальные к заданной поверхности S и если на каждой из этих кривых откладывается от точки А, в которой она пересекает поверхность S, дуга AB такая, что интеграл
(В)
-S
> ds,
U)
взятый вдоль этой кривой, имеет постоянное значение, одинаковое для всех кривых, то геометрическое место точек В есть поверхность 2, нормальная ко всем кривым.
В самом деле (рис. 100), если перейти от кривой С к бесконечно близкой кривой Cj, то вариация S/, заданная формулой (4), равна, по предположению, нулю, но так как cos 6aAx = Ob силу того, что кривая С нормальна к S, то и cos ABBi =0, и кривая С нормальна к 2.
