Теоретическая механика - Аппель П.
Скачать (прямая ссылка):
Эта теорема, которая содержит как частный случай (tp = 1) теорию параллельных поверхностей, справедлива, очевидно, и в предельном случае,
когда поверхность S сводится к сфере бесконечно малого радиуса, т. е. когда кривые С проходят через неподвижную точку.
148. Примеры. 1°. Пусть функция tp (X, у, г) имеет вид рг. Будем рассматривать кривые, проведенные только в части пространства, расположенной над плоскостью ху. Кривые С являются фигурами равновесия нити, на каждый элемент которой действует вертикальная сила. Проекция последней на ось Oz равна —pds, причем натяжение T равно рг. Следовательно, кривые являются цепными линиями, лежащими в вертикальных плоскостях и имеющими основания в горизонтальной ПЛОСКОСТИ X Oy. Действительно, мы видели, что если Z0 есть ордината основания находящейся в равновесии цепочки, то натяжение T равно p(z — Z0); следовательно, Z0 должно быть равно нулю.
Этот результат имеет интересное геометрическое толкование. Возьмем в вертикальной плоскости zOx две точки А и В, лежащие над осью Ох, и кривую АМВ, соединяющую эти точки (рис. 101). Площадь поверхности, образованной вращением этой кривой вокруг оси Ох, равна
(В)
2л J zds. (А)
Следовательно, кривая АМВ, описывающая наименьшую площадь, есть цепная линия, соединяющая обе точки А и В и имеющая основанием ось Ох. Если искать цепную линию, удовлетворяющую этим условиям, то окажется, что она не всегда существует. Например, если обе точки А и В имеют ГЛАВА VIT. ИЗМЕНЯЕМЫЕ. СИСТЕМЫ
191
одинаковые ординаты, то она существует только в том случае, когда половина угла при вершине С равнобедренного треугольника AC В, имеющего основание AB и вершину в точке С на оси, меньше угла DCT = =33° 32', который образован осью симметрии CD (рис. 101) и касательной CT к цепной линии, проведенной из точки пересечения оси симметрии с основанием. Мы не будем здесь указывать условий существования цепной линии при произвольном положении точек А и В. Эти условия установлены впервые Гольдшмидтом (Determinatio superficies mimoe, etc., Гёттинген, 1831).
Когда цепная линия не существует, то кривая АМВ, при вращении которой описывается минимальная площадь, состоит из двух ординат AA' и BB' заданных точек и отрезка оси Ох, заключенного между А' и В'. В самом деле, дифференциальные уравнения кривой суть
Из первого имеем pz = k. Если k не равно нулю, то получается цепная
линия. Если цепной линии нет, то это решение должно быть отброшено. В этом случае следует положить k = 0, и, следовательно,
dx
pz ~~ = 0. ds
Это показывает, что либо z равно нулю, либо х постоянен. Таким образом, часть кривой, не совпадающая с осью Ох, состоит из прямых, к ней перпендикулярных.
2°. Пусть ср = и по-прежнему рассматриваются точки и кривые, расположенные над плоскостью хОу. Все кривые С лежат в вертикальных плоскостях, причем в одной из них, а именно в плоскости zOx, они имеют дифференциальные уравнения
<(7#И "(tS) + ^ = »'
которые приводятся к одному уравнению. В первом уравнении заменим ds через Ydx2 -f- dz2 и затем разделим в нем переменные. Получим
\ dx \ ,zdz --= —, или dx = ± ¦
г ds с Yc'2 — Z2
Это уравнение интегрируется сразу. Обозначая через а новую постоянную, найдем
(х —a)2+ Z2-C2 = O,
т. е. уравнение окружности с центром на оси Ох. Следовательно, в пространстве кривые С суть окружности, перпендикулярные к плоскости ху. Через две точки А и В проходит, очевидно, одна и только одна из этих окружностей.
Геометрия, в которой эти окружности С играют ту же роль, что и прямые в обычной геометрии, и в которой сохранено элементарное понятие
угла, а за длину дуги какой-нибудь кривой принимается интеграл J" Щ-,
распространенный на эту дугу, является неэвклидовой геометрией Лобачевского.
149. Та же задача на поверхности. Нахождение фигуры равновесия нити на поверхности в случае, когда существует силовая функция, также приводится к определению максимума или минимума некоторого определенного интеграла. 192 ЧАСТЬ ВТОРАЯ. СТАТИКА
Среди всех кривых, проведенных на неподвижной поверхности S а соединяющих две ее заданные точки А и В, нужно найти те, которые обращают интеграл
(В)
Г= / ?(дг' у' z^ds
(Л)
в максимум или минимум.
Пусть С—искомая кривая, a C1— проведенная на поверхности между теми же двумя точками А и В бесконечно близкая кривая. Обозначим через X, у, г координаты точки M кривой С. Тогда координаты бесконечно близкой к ней точки Af1 кривой Ct будут
X1 = X + Вдг, yt = у -f- by, Z1 = г + Ьг,
где для краткости несколько изменены обозначения, принятые в п. 146, и пишется Ьдг, by, Ьг вместо є?, eyj, еС.
Если отбросить величины, содержащие є3, то согласно выкладкам, приведенным в п. 146 для вариации Ы интеграла I, соответствующей переходу от кривой С к кривой C1, имеющей те же концы, получается выражение (В)
(Л)
В рассматриваемом случае эта вариация должна быть равна нулю при переходе не к произвольной бесконечно близкой кривой, но к бесконечно близкой кривой, лежащей на поверхности. Вследствие этого не все три вариации Ьдг, by, Ъг произвольны; если
