Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Другая ситуация возникает, например, в случае кристалла алмаза. Дискретные 2s- и 2р-состояния изолированного атома углерода при уменьшении а расширяются и при некотором значении а>а0 2s- и 2р-зоны перекрываются (рис. VIII.6, б). Однако, как показывает расчет, при дальнейшем сближении атомов углерода происходит гибридизация s- и р-состояний (за счет образования четырех валентных связей с ближайшими соседями),
*) Пикус Г. Е. —Журнал технической физики, 1958, т. 28, с. 2390, $6]
ТЕОРИЯ ДЕФОРМАЦИОННОГО ПОТЕНЦИАЛА
477
и при значении а = а0 разрешенные зоны смешанного s—р-типа оказываются вновь разделенными запрещенной зоной.
Из рис. VIII.6, б видно, что при равномерном всестороннем сжатии кристалла, сопровождающемся уменьшением постоянной
Рис. VIII. 6.
решетки а, нижний край зоны проводимости смещается вверх, а верхний край валентной зоны — вниз; в результате этого ширина запрещенной зоны увеличивается. Если бы равновесная постоянная решетки а0 соответствовала точке А, то
Запрещенная зона
Рис. VIII. 7.
имела бы место иная ситуация. В этом смысле влияние сжатия и растяжения решетки может существенным образом отличаться от влияния внешнего электрического поля, которое всегда смещает
край зоны проводимости и край валентной зоны в одном направлении. На рис. VIII.7 представлена картина волнообразных колебаний ширины запрещенной зоны при прохождении продольной акустической волны сжатия.
В приближении упругого континуума состояние деформированного кристалла характеризуется компонентами тензора деформаци и
, /Л,/. л \
(5.2)
L (дЛ л-дл±\ ' 2 V dXidXjJ '
где xi(x1^x, X2 = у, X3^s г — прямоугольные координаты точки континуума), a Ui (i = 1, 2,3)— прямоугольные проекции смещения U(X11X2tX3) точки континуума X11X21X3.
В общем случае положение нижнего края зоны проводимости (верхнего края валентной зоны Sv) можно рассматривать как функцию компонент тензора деформации е(/. Разлагая в ряд 478 КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ И ВРЕМЯ РЕЛАКСАЦИИ [ГЛ. VIII
по Zij, получим
Sc M = Sc (0) + SflVeV = Sc (0) +O11E11 +Oll8ll + ... (5.3)
Величины а,-у и е,у зависят от ориентации координатных осей*, относительно осей кристалла. Кроме того, Ciij- зависят, конечно, и от природы кристалла. Поместим начало координат нашей прямоугольной системы в вершину куба недеформированной кристаллической ячейки и направим оси координат по его ребрам. Нетрудно показать, что для кристалла кубической симметрии недиагональные коэффициенты а{/ (i Ф j) равны нулю. В самом деле, повернем координатную систему вокругоси*3 = 2 на угол я/2; тогда в новой (штрихованной) системе Xi = X2, X2= — X1 и, следовательно, согласно (5.2) S12 = — е12. Коэффициенты Ciij- при таком повороте координатной системы не меняются, так как кристалл ориентирован одинаково при обоих положениях системы, так что а'12 = а12. Пусть деформация кристалла такова, что отлична от нуля только компонента тензора є12. В этом случае смещение края зоны проводимости, выраженное в обоих координатных системах, повернутых друг относительно друга, равно
Sc (°) = «І2єіа = ЯІавІа = — OlaS12,
откуда а12 = 0. Аналогично можно показать, что все остальные недиагональные коэффициенты Ciij тоже равны нулю. Так как
B кубическом Кристалле ОСИ X1, X2, X3 равноценны, ТО Ct11 = Cl22 =
= а33 = S1 и из (5.3) имеем
= + (5.4)
где
а , і dui , ди2 , ди3 _ 6К /г л \
А = є11 + є22 + є33=^+1^ + ^ = с11уа = т (5.4а)
— относительное изменение объема в данной точке
В теории деформационного потенциала Бардина и Шокли доказывается, что при рассмотрении рассеяния электронов на колебаниях решетки можно электрон описывать не блоховской волновой функцией, а плоской волной, если при этом заменить потенциал рассеяния (3.3) выражением
<U = ^1A = S1 div а (г). (5.5)
*) Зоммерфельд А. Механика деформируемых сред.—M.: ИЛ, 1954, § 1. § 5]
ТЕОРИЯ ДЕФОРМАЦИОННОГО ПОТЕНЦИАЛА
479
Мы увидим, что константа S1, имеющая размерность энергии, тесно связана с константой взаимодействия С, определенной в (3.106) і).
2. Определим время релаксации, используя потенциал рассеяния (5.5) и описывая электрон проводимости плоской волной:
= (5.6)
где V—объем основной области кристалла.
Смещение а (г) точки г кристалла в приближении непрерывного континуума, согласно (3.1), равно
а (r) = 7Ш ^eqi {а"іЄІЧГ+а'<че~ iqr^ (5-7>
ч. і
Здесь N — число атомов основной области, eqj— ортонормирован-ные векторы поляризации, ад1-—комплексные нормальные координаты, гармонически зависящие от времени с частотой (Oqj = v0Jq, где V0J—скорость звука с поляризацией /'. Отсюда относительное изменение объема
А ='div а = -J= (eqiq) \aqie^r-a-q.e-^}. (5.8)
я
Так как потенциал рассеяния (5.5) пропорционален А, то из (5.8) следует, что электроны проводимости взаимодействуют только с продольной акустической волной, для которой eqj\\q и e4jq = q. В дальнейшем мы опустим для продольной волны индекс поляризации j.
Для определения вероятности перехода электрона W (к, к') по формуле (3.11) вычислим матричный элемент энергии возмущения (5.5) на волновых функциях электрона в приближении плоских волн (5.6), т. е. в приближении эффективной массы (5.1):
