Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.
Скачать (прямая ссылка):
41
1 ( еп(я)
т1
g/a ig) \
Vmi /'
где единичный вектор = qlq и Hj- (q) = —
Выражение (6.17) отличается от (V.4.42) тем, что в случае длинноволновых оптических колебаний ионного кристалла с электроном проводимости взаимодействует только продольная волна, в то время как в случае акустических колебаний пьезо-электрика с электроном взаимодействуют, вообще говоря, все три ветви колебаний (fy О Для всех /')•
Энергия возмущения, соответствующая потенциалу (6.17), равна —еФ.
Как мы сейчас покажем, первой сумме в (6.17), содержащей множитель uj (q) ехр (iqr), соответствуют процессы поглощения электроном проводимости фонона Iuaqh поэтому, согласно (3.11), вероятность поглощения фонона Iuaqi равна
Wf (к, к') =
= |Ч <к', Nqj|-еФ|А, ЛГ,/>|»в(е* —е*—Йю,/) = = ?^ (й'. Nqj Yi'(9ihj)aj(q)^ ft, Nqi) \
X 8(є*<—ей —іЦ,/). (6.18)
В качестве волновых функций электрона, как и в (V.4.43) используем плоские волны, тогда
ft'=ft + <7, (6.19)
что соответствует процессу поглощения электроном фонона с волновым вектором q; в согласии с этим матричные элементы
і) Тамм И. E., § 21. 486
КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ И ВРЕМЯ РЕЛАКСАЦИИ
[ГЛ. VIII
af(q) отличны от нуля только для Ngl- = Ngj—1 и равны (V.4.45): <N'4i\aj (q)\ Nql> = y
Ч/
(6.20)
к. с.-член в (6.17), содержащий множитель а*(^)ехр(—iqr), соответствует процессу испускания электроном фонона, для которого
k'=k—q, (6.19а)
и
<Ngj I О/ (q) I N4O =
IlN
41
+1)
2ш
(6.20а)
41
єсли Ngj = Ngj + 1 .
Для длинноволновых акустических фононов a>qj = vqjq, где Vgj—скорость звука, зависящая от направления вектора q. Взаимодействие электронов с фононами (для всех Г^>1°К происходит упруго (см. § 4), б-функция, входящая в (6.18), равна (4.2) и
<Ngj>равн « <Ngi +Iyv3m = k0T/fbvgjq, (6.21)
как следует из (4.106).
В этом приближении вероятность, связанная с испусканием фонона Wj, равна вероятности поглощения фонона, так что полная вероятность взаимодействия с фононом W j = W) + Wj = = 2Wf. Для времени релаксации, связанной с взаимодействием с /-Й ветвью, из (4.2)-(4.7), (6.18), (6.20) и (6.21), получим
1 =-?2 Wf(k,k + q)^= e*WkaT
V
X
'max Я 2я
Г d<7 Jsinudu I dcp /
0 V
pQBk2 I Ctihj I2
X
41
Sjf«(? + c»»)}, (6.22)
при этом мы учли, что V/vV = Q0.
Общие соображения и конкретные расчеты, выполненные
Мейиром и Полдером1), показывают, что множитель '
gih, Iа 1
"і/ J
не зависит от абсолютной величины вектора q, а только от его направления, т. е. от углов Ф и ф. Для упрощения вынесем
среднее значение
I Qi ft.
по направлениям из-под знака
1J См. сноску на с. 484. §6]
РАССЕЯНИЕ ЭЛЕКТРОНОВ В ИОННЫХ КРИСТАЛЛАХ
487
интеграла; тогда интегрирование по ср дает
2я
і cosa , _2 cos^ J cos 8 Y '
о
а интегрирование по как и в случае (4.7), приводит к множителю q/2k. В результате из (6.22) получим
_2ft
1 ne*2e2m*k0T Г I QiА/ Iа Г 2iie*Vm*
h3Q0k3
gi
qdq:
PQ0
I Qxhj
41
k
До тех пор, пока не вычислен множитель
I Qyhj \
41
(6.23)
выра-
жение для времени релаксации (6.23) интересно только своей зависимостью от температуры T и энергии электрона e=A2/e2/2m*. Очевидно, что для всех трех акустических ветвей эта зависи-
з
мость одинакова. Так как 1/так = 2 IItj-, где так—время релаксации взаимодействия со всеми акустическими ветвями, то
1
(6.24)
Мы видим, что в пьезоэлектрике зависимость времени релаксации так от температуры T и энергии электрона є такая же, как для взаимодействия электрона с оптическими колебаниями в ионных кристаллах типа NaCl при высоких температурах (6.7). В упомянутой выше статье Мейир и Полдер пытаются вычислить qjij и Vqj, используя теорию упругости для пьезоэлектриков. Им удается выразить значение этих величин через упругие константы и пьезоэлектрический модуль только для основных направлений в кубическом кристалле (100), (ПО) и (111); эти значения они затем используют для приближенного определения времени релаксации так. Подставляя в полученное выражение численные значения упругих констант и пьезоэлектрического модуля для ZnS, они получают
^ = 5,1-10» /Г, (6.25)
где X = Elk0T.
Обратное время релаксации для взаимодействия электрона с оптическими колебаниями при низких температурах (6.13) для того же вещества равно
- = 5,2-101?-638/7-. (6.26)
Топ
В табл. VI 11.1 приведены значения обоих обратных времен релаксации для электрона с энергией е = 3k0Tl2 при разных 488 КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ И ВРЕМЯ РЕЛАКСАЦИИ [ГЛ. VIII
Таблица VIII.1
JO К —— 10", сек-1 так —— 10», сек-1 топ
250 6,6 60
200 5,9 53
150 5,1 14
125 4,5 7,0
100 4,2 2,4
75 3,6 0,39
температурах. Мы видим, что 1/так становится того же порядка, что и 1 /топ при температуре 125° К, и при понижении температуры рассеяние на пьезоакустических колебаниях становится все более существенным.
§ 7. Рассеяние электронов проводимости на заряженных и нейтральных атомах примесей
1. В конце § 1 мы рассмотрели с точки зрения классической механики задачу о рассеянии носителей тока на ионах примеси. В качестве рассеивающего потенциала был взят кулоновский потенциал в среде с диэлектрической постоянной є, (1.17). Для того чтобы обеспечить сходимость интеграла (1.23), определяющего время релаксации, интегрирование по углу рассеяния 8 велось от 9min, соответствующего максимальному прицельному расстоянию bmax = xIjil1/3, где п,— концентрация ионов примеси. Было отмечено, что такое ограничение прицельного расстояния величиной, равной половине среднего расстояния между соседними ионами примеси, соответствует представлению об экранировании зарядов ионов противоположными зарядами носителей тока. В настоящем параграфе мы учтем это экранирование более последовательным образом.
