Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Если добавить к этому проблему «увлечения» электронов проводимости неравновесным распределением фононов в термоэлектрических и термомагнитных явлениях и проблему «горячих» электронов (сильные электрические поля), то общее число различных случаев, которые могут быть рассмотрены, превышает несколько сот. Рассматривать все эти теоретически возможные случаи не только невозможно, но и нецелесообразно. Развитие физики полупроводников за последние 20 лет показало чрезвычайную сложность и большое разнообразие их внутренней структуры, поэтому заведомо бесполезно пытаться описать все известные в настоящее время и возможные в будущем случаи.
Мы рассмотрим явления переноса в полупроводниках, руководствуясь следующей схемой:
1) невырожденные полупроводники с простой зоной энергии;
2) полупроводники с простой зоной энергии при учете вырождения носителей тока;
3) полупроводники типа германия;
4) полупроводники со сферической непараболической зоной энергии (модель Кейна);
5) эффект «увлечения» носителей тока фононами;
6) квантовая теория гальвано- и термомагнитных явлений.
2. Для того чтобы ток электронов проводимости в полупроводнике равнялся нулю, необходимо, чтобы они находились в состоянии термодинамического равновесия. Для этого требуется, чтобы не только их температура T во всех точках была постоянной, но и был бы постоянен их химический потенциал ?*=?—ecp, где ?—так называемый электрохимический потенциал, определяемый концентрацией и температурой электронов в данной точке полупроводника, а ф(л:, у, г) — электростатический потенциал в этой же точке (—еф—энергия электрона в поле этого потенциала) 1J.
1J То, что в статистическом равновесии системы ?*=const, вытекает из общих положений статистической физики (см., например, Ансельм А. И., стр. 219). До настоящего времени (например, гл. VI, § 2) мы пользовались электрохимическим потенциалом называя его просто химическим потенциалом, так мы будем делать и в дальнейшем.496 КИНЕТИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ В ПОЛУПРОВОДНИКАХ [ГЛ. IX
Электронный ток возникает в результате того, что T или
JL—ф = -у- не постоянны в объеме полупроводника. Очевидно,
что в стационарном случае в изотропном полупроводнике в линейном приближении электронный ток состоит из слагаемых,
пропорциональных V7\ и V (у-'ф) » т- е- плотность постоянного тока
y=*v(}-cp)-?v7\ (1.1)
В однородном полупроводнике в изотермических условиях ? постоянно по его объему, поэтому V —ф^ = — Тф = E, т. е. совпадает с напряженностью электростатического поля Е. Если неоднородный полупроводник находится в состоянии статистического равновесия (VT = О, J = O), то в нем возникают электрические поля с напряженностью E = — V (?/е). Соотношение (1.1) носит локальный характер, т. е. все величины, входящие в (1.1), вообще говоря, зависят от координат выбранной точки г.
Наряду с плотностью электрического тока У рассмотрим плотность потока «кинетической» или тепловой энергии q = w —
— (cP — "е")1^' где из плотности потока полной энергии W вычтена часть, связанная с «потенциальной» энергией, переносимой потоком электронов. В линейном приближении
9 = (1.2)
В случае анизотропного полупроводника скалярные кинетические коэффициенты а, ?, у, к превращаются в тензоры второго ранга и (1.1) и (1.2) приобретают вид
(1.1а)
k уе ' k ^ = (1.2а)
Здесь индексы i, k=\, 2, 3 или i, k = x, у, г. Коэффициенты, входящие в (1.1а) и (1.2а), удовлетворяют соотношениям симметрии или принципу Онсагера1):
Gik = Vkh (1-3)
= (1.4)
Y ,H=TfLlll. (1.5)
Если полупроводник помещен в магнитное поле, то кинетические коэффициенты зависят от напряженности магнитного поля Н\
1) Ансельм А. И., гл. X, § 6.S2] НЕРАВНОВЕСНАЯ ФУНКЦИЯ 497
в этом случае соотношения (1.3) — (1.5) обобщаются следующим образом:
Otk(H) = вы (-if), (1.3а)
xtk(if) = хк1 (-И), (1.4а)
71к(Щ = Т$ы(-Н). (1.5а)
Особенно полезным является соотношение (1.5а), позволяющее заменить вычисление электрического тока при наличии градиента температуры, определением потока энергии в электрическом поле.
Если носители тока движутся по законам классической механики, то кинетические коэффициенты могут быть в принципе определены из кинетического уравнения. Этому и будет в основном посвящена настоящая глава.
Отметим, что и в случае квантовой теории явлений переноса имеют место соотношения Онсагера (1.3а) — (1.5а).
§ 2. Определение неравновесной функции для электронов проводимости в случае сферически симметричной зоны
1. В случае сферически симметричной зоны энергия электрона
е = е(к) (2.1)
зависит от абсолютной величины волнового вектора к = \ k\, т. е. поверхности постоянной энергии сферы. В этом случае скорость электрона
V
1 дъ(к)
4-??! = " (*) Л, (2.2)
% дк % dk k где
"(^if- (2.2а)
Таким образом, в этом случае v\k.
Положим в соответствии с (VIII.2.9а) неравновесную функцию распределения
/(*)=/о(е) + М*). с /,(*) = -?-X (В)*, (2.3) где равновесная функция распределения
/о (в) =-А-. (2.3а)
-р^г+1