Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.
Скачать (прямая ссылка):
<Nq\aBBtt<Nq+l\aBH = -p?-. (4.106)
Подставляя это значение N0 и w(q) из (3.11 в) в (4.9), получим после элементарного интегрирования по q в пределах (4.Ir)
9я Mvlk3 1 __ 9я Mvtki__1_ ...
4 Q0Mk0T k - 4/2" й0С*т*3'Ч0Т /г ( '
или
где
(4.Па)
k у.
є
9я (Mv20P) _ k
ok 4 Q0C*m*k0T и 0 Y^
Заметим, что время релаксации носителей тока в атомных полупроводниках т CV) T-1E-1/2. Длина свободного пробега
I-VX-^L_mv^ (4 12)
l-UX- 4 Q0CWk0T
от энергии электрона не зависит.
2. Рассмотрим время релаксации электронов проводимости в металле. В следующей главе будет показано, что в явлениях переноса в металле практически участвуют только электроны с энергией, близкой к энергии Ферми ?0. Этим электронам соответствует волновой вектор
= см, (4.13)
т. е. на порядок больший, чем k у полупроводников при комнатной температуре. Поэтому отношение (4.16) для металлов
т* U0
(4.13а)
' Со
kk (S0) V Zo
при всех температурах. Таким образом, электроны в металле, как и в полупроводнике, рассеиваются колебаниями упруго. Вероятность перехода определяется теми же выражениями (3.11а) и (3.116), поэтому время релаксации вычисляется совершенно аналогично тому, как это сделано выше. Однако при интегрировании по q в (4.9) необходимо иметь в виду следующее. Как мы видели выше, максимальное значение волнового вектора фононов равно по Дебаю (III.11.13) ^0«Ю8 см, т.е. того же порядка, что и й(?0). Поэтому необходимо различать два случая:
1) k (Со) <-?г и 2) k (?0) >-тг • В первом случае, который реали- $4]
ВРЕМЯ РЕЛАКСАЦИИ ЭЛЕКТРОНОВ ПРОВОДИМОСТИ
475
T =
и
зуется в металлах с малой концентрацией электронов проводимости (полуметаллах), интегрирование по q надо вести до 2k (?0), так что время релаксации равно (4.11). Во втором случае, который обычно осуществляется в хороших металлах, интегрирование по q надо вести до </0, и в этом единственное отличие по сравнению с тем, что мы имели для полупроводников. В результате т для металла может быть получено из выражения (4.11), если его помножить на (2fe)4 и разделить на ^1). Таким образом, для металлов
1 Q0Mk0TcIi / Tc \ fc, _ 2УТ Q0Mm^k0Tc / Tc \ /а „ и) т*С2 \ T J п3 %2С2 \ T J '
Здесь Tc= %v0qjk0— температура Дебая (мы допустили неточность, полагая скорость продольных звуковых волн равной их средней скорости (III.9.16).
Учитывая связь между Tc и и0, оценим порядок отношения длин свободных пробегов электрона в атомном полупроводнике (4.11а) и металле (4.14а):
7<4Л5>
т. е. порядка единицы (а—постоянная решетки, равная QJ/S). Оценим длину свободного пробега электрона 1п~1К- Из (4.12)
, Mv20Ii2/т*а2%2/т*а2 1сч
—--Wa- (4Л6)
Так как Mv20 и К2/т*а2 имеют порядок атомной энергии, то первый и второй множители — порядка 1, третий множитель—много больше 1; поэтому В реальных атомных полупроводниках /
бывает в десятки, а при низких температурах в тысячи раз больше постоянной решетки а. С точки зрения классической механики длина свободного пробега электрона в кристалле должна быть порядка постоянной решетки, так как расстояние между атомами в твердом теле порядка размеров самих атомов. Большие длины свободных пробегов электронов, вытекающие из теории и наблюдаемые на опыте, свидетельствуют о том, что движение электрона подчиняется законам квантовой механики.
J) В (4.9) как в случае полупроводника, так и в случае металла, интеграл берется от q3. 476 КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ И ВРЕМЯ РЕЛАКСАЦИИ [ГЛ. VIII
§ 5. Теория деформационного потенциала в кубических кристаллах с простой зонной структурой
1. В последнее время получил развитие особый метод вычисления времени релаксации для электронов проводимости в атомных кристаллах, получивший название теории деформационного потенциала (Бардин и Шокли, 1950). Результаты, получаемые этим методом, в случае простой зонной структуры электронов совпадают с теми, какие получаются из гипотезы деформируемых ионов (§ 3) или гипотезы жестких ионов Норд-гейма1). Однако теория деформационного потенциала обладает рядом преимуществ, главнейшее из которых — простота вывода, позволяющая обобщить теорию на более сложные случаи, например на случай сложной зонной структуры носителей тока. В этом параграфе мы рассмотрим теорию деформационного потенциала в простом кубическом одноатомном кристалле для случая простой зонной структуры, когда энергия электрона проводимости
e = fak2/2m*. (5.1)
Для того чтобы более наглядно представить себе особенности метода деформационного потенциала, рассмотрим вопрос об образовании энергетических зон в кристаллах при сближении изолированных атомов. Представим себе атомы какого-либо элемента расположенными в узлах соответствующей элементу «решетки», но на больших расстояниях а друг от друга.
До тех пор, пока а много больше истинной (равновесной) постоянной решетки а0, атомы не взаимодействуют друг с другом и их энергетические термы остаются дискретными. На рис. VIII.6, а видно, что при а > За0 3s- и Зр-уровни атома натрия остаются практически дискретными. При уменьшении а, т. е. сближении атомов, из-за их взаимодействия дискретные уровни атомов расширяются, образуя энергетические зоны. Как видно из рис. VI11.6, а при а = 1,7а0 расширенные термы Зр и 3s начинают перекрываться, образуя при а = 1,7а0 зону проводимости металла натрия.
