Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.
Скачать (прямая ссылка):
ВРЕМЯ РЕЛАКСАЦИИ ЭЛЕКТРОНОВ ПРОВОДИМОСТИ 471
В случае поглощения фонона
W+(k,g) = w (д) Ngd (ek+q-ek-U9), (3.11а) а в случае испускания—
W- (k,q) = w(q)(Ng + 1)6(е*_9-е* +Н). (3-116)
где
= (ЗЛ1в)
В согласии с (1.22) вероятность перехода обратно пропорциональна объему кристалла (числу атомов N в основной области). Дельта-функция 8(е*±?—EftrF^co9) выражает законы сохранения энергии и волнового вектора.
Для вычисления времени релаксации т, обусловленного рассеянием электронов на колебаниях атомной решетки, необходимо (3.11а) и (3.116) подставить в формулу (2.12).
§ 4. Время релаксации электронов проводимости в атомном полупроводнике и металле
1. Вычислим время релаксации (длину свободного пробега) электрона проводимости, взаимодействующего с колебаниями решетки в атомном полупроводнике. Как мы сейчас покажем, рассеяние электронов происходит при этом почти упруго, так что для вычисления т можно воспользоваться формулой (2.12).
Если энергия электрона пропорциональна k2, т. е. Sk =%2k2/1m*, и частота продольных акустических волн COl7i = v0q, где V0—скорость продольных волн звука, то из законов сохранения (3.8) и (3.9) следует
. (4..)
где верхний знак относится к случаю поглощения, а нижний — к случаю испускания фонона. Отсюда
9 = + 2fecos-&± ^S. , (4.1а)
где й—угол между направлениями векторов ft и q.
Оценим порядок отношения второго слагаемого к первому в правой части выражения (4.1а)
m*Vo _ HitV9
~hk P
tn*V0 /rT „
Y^t=V (4-16)
где квазиимпульс p = %k заменен своим средним тепловым значением при температуре T и критическая температура T1ltp = = m*vllku. Полагая т* = IO-27 г, г>„ = 2-105 см/сек, получим 472 КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ И ВРЕМЯ РЕЛАКСАЦИИ [ГЛ. VIII
Tkp^I0K; поэтому при всех температурах Т^ГК можно пренебречь вторым слагаемым, так что
<7 = + 2ft cos {К (4.1 в)
Таким образом, из законов сохранения следует, что электроны поглощают и испускают фононы с q « ft. Из выражения (4.1 в) следует, что
<7шіп = 0> <7max = 2?- (4.1г)
Так как для электронов среднее значение ft при комнатной температуре порядка IO7 см, а максимальное значение волнового вектора q по теории Дебая (III.11.13) равно q0 = = (6я2/Й0)1/3 A IO8 см' т0 QmaxЯо' Электроны взаимодействуют только с длинноволновыми фононами, поэтому линейный закон дисперсии ((o = v0q) хорошо оправдан.
Очевидно, что пренебрежение вторым слагаемым в (4.1а) равносильно пренебрежению энергией фонона в (4.1), т. е. неупругостью рассеяния электрона. При упругом рассеянии б-функции, входящие в (3.11а) и (3.116), имеют вид
Hek ± ,-є* )=o(±^ COS-» +1^=-^6(? + COS -&),
(4.2)
где мы воспользовались свойством б (а ± bx) = б + л;^ *).
Мы можем определить теперь время релаксации т по формуле (2.12). При рассеянии электрона на колебаниях решетки
k' = k±q, (4.3)
где верхний знак соответствует поглощению, а нижний—испусканию фонона. Из (2.12) и (4.3) имеем
1 (к, q) ^+ YiW-(k,q)^-, (4.4)
q Xg X
где первая сумма в правой части учитывает поглощение, вторая— испускание фононов. Мы перешли в (2.12) от суммирования по k' к суммированию по q при заданном k.
Заменим суммирование по q интегралом по ^-пространству в сферических координатах с полярной осью, направленной по к:
в
шах л 2л
E^W J I* dV J^P- (4-5)
* 0 0
На рис. VIII.5 представлены векторы к, q и % и углы между
J) Шифф Л., Квантовая механика,—M.: ИЛ, 1957, с. 57. $4]
ВРЕМЯ РЕЛАКСАЦИИ ЭЛЕКТРОНОВ ПРОВОДИМОСТИ
473
ними. Известно, что 1J
COS Ot = cos 0 cos ? + sin 0 sin ? COS ф.
(4.6)
Так как qx =q cos а и kx =&cos?, то обратное время релаксации
т*
(2я)3 %2ki
X
'ши
cosa
шах я 2я
J q2dq Jsinftdft ^dy-{ о о
W (q) Nfi
^-fcosftjx
H?)(^ + l)6(^-cosft)-^}. (4.7)
cos ? ""W/v-? От ф зависит только cosa; поэтому
2Я
^ cos a dcp = 2я cos ft cos ?.
(4.8)
Интегрируя по SinOdft = —d cos ft и используя б-функции в первом и втором слагаемых в фигурных скобках (4.7), получим
q
шах
S «тщ+1)^,(4.9)
я . min
так как для процессов поглощения и испускания фононов <7min и <7тах одинаковы.
Для того чтобы использовать в (4.4) вероятности (3.11), необходимо сделать какие-то предположения о числах заполнения фононов Nq. Как мы увидим в рис VIII 5 дальнейшем, в большинстве случаев термодинамически равновесное распределение фононов, определяемое формулой Планка (111.11.10а) мало нарушается в электронных процессах переноса. В следующей главе мы увидим, что при наличии градиента температуры в электронных кинетических явлениях иногда необходимо учитывать отступление фононной функции распределения от равновесной (эффекты «увлечения фононами»).
Мы положим, таким образом,
Na = <Na\ 1
' g/равн"
ехр
JiVyq knT
-1
Учитывая (4.Ir), видим, что показатель экспоненты
%v0q iivak _ V0P V0 У m*k0T
k0T
kaT
hT
k0T
(4.10)
(4.10a)
*) К ОЧ и H H. E., гл. I. 474 КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ И ВРЕМЯ РЕЛАКСАЦИИ [ГЛ. VIII
Поэтому (4.10) можно разложить в ряд, и мы получим
