Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Mkk- = <k'\%\k> = ^ (г) % (г) ф* (г) dx. (5.9)
V
Используя (5.5) и (5.8), получим
' ЯІ Iv V ' J
(5.10)
х) Выражение для смещения края зоны проводимости (5.4) было одновременно и независимо использовано М. Ф. Дейгеном и С. И. Пекаром для расчета «конденсонного» состояния электрона в кубическом атомном кристалле. Титейка в 1935 г. использовал (5.5) в качестве потенциала рассеяния электронов в металле при рассчете гальваномагнитных явлений в сильных магнитных полях. Заслуга Бардина и Шокли заключается в обосновании теории деформационного потенциала в рамках метода эффективной массы.480 КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ И ВРЕМЯ РЕЛАКСАЦИИ
[ГЛ. VIII
Первый интеграл в фигурных скобках отличен от нуля и равен V только в случае
k + q = k', (5.10а)
Второй—только в случае
k—q = k'. (5.106)
Случай (5.10а) соответствует процессу, при котором электрон поглощает фонон с волновым вектором q и энергией %(aq, а случай (5.106) соответствует процессу испускания фонона. В обоих случаях
і ^'I2=Ilmia- (5-11)
так как |og]2 = |o?|2.
Из (III.6.27) следует, что энергия одного нормального колебания, соответствующего продольной акустической волне, равна 2<i>iq\aq\* = 2vfaii\aq\i, где V0—скорость продольных волн звука. В состоянии статистического равновесия (при температуре выше дебаевской)
2v20q2\aq\2 = k0T, (5.12)
откуда
\ae\2 = k0Tl2v20q\ (5.12а)
Из (5.11) и (5.12а) следует, что
I MkW |а = Slk0T/2NMv20. (5.13)
Из (3.10) и (3.10а) следует, что для температур выше дебаевской
хт' і «Iii L хт ч 4 cV п> kaT 4 C2U0T /r , .ч <k,Nqj\W\k,Nql> = ^^^ = ^^. (5.14)
Здесь учтено, что Nq да Nq + 1 = U0TlImtl и a>q = v0q. Если считать квадраты модулей матричных элементов (5.13) и (5.14) одинаковыми, то
S1 = 2ZaC, (5.15)
где константа взаимодействия С определяется выражением (3.106).
Из (5.14) непосредственно вытекает выражение для вероятности перехода (3.11), которое позволяет нам, подобно тому как это было сделано в § 4, вычислить время релаксации электрона т. Очевидно, что полученное таким образом время релаксации совпадает с выражением (4.11), в котором надо только заменить С на iI2S1-
Конечно, нельзя рассматривать приведенные выше рассуждения как прямое доказательство соотношения (5.15), так как оно основано на сравнении конечных результатов вычислений, исходящих из разных физических предпосылок. В Приложении 22 дается прямое доказательство соотношения (5.15), основанное на квантовомеханической теории возмущений деформированного кристалла.§6] РАССЕЯНИЕ ЭЛЕКТРОНОВ В ИОННЫХ КРИСТАЛЛАХ 481
§ 6. Рассеяние электронов проводимости в ионных кристаллах на колебаниях решетки
1. Электрон проводимости (дырка) в ионном кристалле (если он не пьезоэлектрик) гораздо сильнее взаимодействует с оптическими колебаниями, чем с акустическими. Это связано с тем, что в ионном кристалле при оптических колебаниях в каждой кристаллической ячейке возникает электрический дипольный момент, с которым сильно взаимодействует электрон (дырка) проводимости.
Исследуя поляроны слабой связи (гл. V, § 4, п. 3), мы определили матричные элементы взаимодействия электрона с длинноволновыми оптическими колебаниями ионного кристалла в континуальном приближении. Мы видели, что в первом приближении теории возмущений поправка к энергии электрона равна нулю. Вычислим в этом же приближении рассеяние электрона, связанное с рассеянием на оптических колебаниях ионного кристалла. Из (V.4.46) и (3.11) следует, что вероятность перехода электрона к—»-Ar', связанная с поглощением или испусканием оптического фонона Ival, равна
W (к, k') = W(k,k±q) =
= ^r I <К'д, к'\—еФ I Ng, кУ I2 б (er—в* =F U1) =
= Je(в*±ї —B4=T=Awl), (6.1)
где
, . 4я2е2а>{ 1 /с і „\
w(q)=—з—l^r. (6.1a)
Здесь верхние знаки (и верхняя строка в фигурной скобке) соответствуют поглощению, а нижние — испусканию фонона. Закон сохранения энергии выражается 6-функцией в (6.1); если электрон (дырка) проводимости характеризуется эффективной массой т, то закон сохранения энергии имеет вид
h* (ft ± qf Pki
2т* 2т*
ИЛИ
±Ult
Igi^cose=Ffcol = 0. (6.2)
Здесь •&—угол между волновыми векторами Ar и q. Решая квадратное уравнение (6.2) относительно q, получим два корня
дг = — ft cos OiVfe2COS2 ft + ft,, ga = fe cos О ±j/feaCOS2S-ft,,(6.3)482 КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ И ВРЕМЯ РЕЛАКСАЦИИ
[ГЛ. VIII
где
fokll2т* ^fLal. (6.3а)
Рассмотрим теперь разные температурные интервалы.
А. Высокие температуры: k(jT^>na}l или k^>k0. В этом случае можно пренебречь k\ под знаками корня в (6.3) и как в случае поглощения, так и испускания фононов
<7min = 0, <7тах = 2/г. (6.4)
Далее, при k0T^iixol
^ = <iV?>paBH = g^i. (6.5)
Так как при U0T^Iml рассеяние носит упругий характер, то время релаксации определяется по формуле (4.9)
ffJnax
"Т = j а» (q)(2N„+\)q* dq. (6.6)
^rnin
Подставляя сюда (6.1а), (6.4) и (6.5), получим для времени релаксации электронов (дырок) проводимости в ионном кристалле при высоких температурах
Г = ~ , Р*' в*/2, (6.7) 2 е (т*)1/ k0T