Сложные колебания в простых системах: механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах - Анищенко В.С.
ISBN 5-02-014168-2
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
Итак, при любых значениях физических параметров системы, когда 5 > 0, диссинативный маятник характеризуется единственным глобально устойчивым состоянием равновесия в нуле фазовых координат. Независимо от выбора начальных условий наблюдается затухающее колебательное или апериодическое движение. При t любая (!) изображающая точка стремится к началу координат в устойчивый фокус либо узел.
Описанное свойство является общим для динамических систем с полной диссипацией энергии. Положения равновесия тина устойчивого фокуса или узла являются здесь глобально притягивающими в том смысле, что фазовые траектории из любой точки фазового пространства асимптотически к ним стремятся.
Введение диссипации энергии в колебательную систему привело к качественной перестройке структуры фазового портрета. Появились притягивающие множества типа устойчивых положений равновесия. Однако стационарные незатухающие колебания в линейных диссипативных системах оказываются невозможными. С физической точки зрения это понятно -
2*
19 нет условий поддержания колебаний. Энергия, расходуемая на преодоление сил трения, не восполняется. Поэтому в линейных лмссипативных системах наблюдаются только переходные затухающее колебательные процессы и в принципе невозможны установившиеся автоколебания.
1.6. Автоколебательные системы
Возможность существования периодического асимптотически устойчивого движения, которое изображается изолированной замкнутой траекторией в фазовом пространстве системы, к которой со временем притягиваются траекюрии из некоторой окрестности независимо от начальных условий, обеспечивается только ь нелинейных диссипагивных системах. Этот тип динамических систем настолько важен при изучении колебательных процессов, 'HU для его выделение AA. Андронов предложил специальный термин - автоколебательные системы [17]. Математическим образом автоколебаний служит предельный цикл Пуанкаре - замкнутая траектория в фазовом пространстве, отвечающий периодическому движению. Эти термины прочно утвердились в теорій« колебаний [16-21].
В качестве примера динамический системы с предельным циклом Пуанкаре рассмотрим классический нелинейный осциллятор Rau дер Поли, уравнении колебаний которого
Зс -а(1 - Ах2)*+**0. (122)
Параметр а, характеризующий подкачку энергии в систему от внешнего источника, является существенным параметром осциллятора и называется параметром возбуждения. Из сравнеїшя уравнений (1.22) и (1.19) следует, что осциллятор Ван дер Поля описывает более сложный колебательный контур, характер н значение диссипации в котором нелинейным образом зависят от колеблющейся переменной X. В фазовых координатах уравнение колебаний осциллятора (1.22) представляется как
»«(1 -JCi (123)
со знакопеременной дивергенцией, тождественно не равной нулю:
j(l-&f?)#0. (124)
В общем случае (123) не интегрируются и исследования проводятся с использованием численных методов. В практически важном случае (а > 0. Ъ > 0) уравнения (123) имеют единственное устойчивое решение в виде предельного цикла Г,изображенного на рис. 13.
Положение равновесия в начале координат, как это следует из уравнения (1.22), в котором вблизи нуля можно пренебречь нелинейностью, является неустойчивым фокусом. Траектории из окрестности состояния равновесия асимптотически стремятся к предельному циклу. Как показывает анализ, предельный цикл является глобально устсй<мвой изолированной структурой, притягивающей к себе траектории из любой точки на фазовой плоскости.
Таким образом, в динамических системах с нелинейной зависимостью диссипации энергии от переменной, совершающей колебания, впервые появляется принципиально новый тип устойчивого предельного множества
20 Рис. 1.5. Предельный никл системы (1.23). Численный счет проведен для значений параметров в = 1, Л = 0,3
Рис. 1.6. Проекция двумерного тора на плоскость переменных х,. х,. Численное интегрирование системы (1.25) проведено для значений параметров а=1; Ь - 0,3; В = 1.0; р= 1,5; ^0-=O фазовых траекторий: предельный цикл. Движение на предельном цикле отражает сложный процесс энергетических изменений во времени, происходящий в автоколебательной системе. Если внешним возмущением сместить траекторию на фазовой плоскости внутрь предельного цикла, то вносимая энергия будет в среднем превосходить рассеиваемую. Среднее значение дивергенция здесь окажется положительным. Вне предельного цикла дивергенция отрицательна, что ведет к стремлению фазовых траекторий к предельному циклу извне.
Расчеты свидетельствуют, что на предельном цикле за время периода колебаний доли рассеиваемой и вносимой энергии строго компенсируются. Однако если рассчитать среднее значение дивергенции, задав начальные условия на предельном цикле, то мы получим отрицательную величину. Это принципиальное свойство диссипативных систем. Дивергенция в линейном приближении характеризует локальное свойство фазового потока (в данном случае - сжатие фазового объема в окрестности цикла). В реальных диссипативных системах это свойство ведет к глобальным закономерностям - существованию в фазовом пространстве замкнутых притягивающих предельных множеств, к которым асимптотически стремятся близлежащие траектории.
