Сложные колебания в простых системах: механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах - Анищенко В.С.
ISBN 5-02-014168-2
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
Матрица линеаризации A(t) системы уравнений в вариациях относительно хаотического решения x°(f) будет апериодической, но ограниченной. Поэтому предел в (2.11) существует при t и определяет спектр ЛХП решения. Сигнатура спектра ЛХП странного аттрактора наиболее простой структуры имеет вид
,,1,, »v\»» ,, ,, ,, ,, » »,
Проведенный анализ уравнений в вариациях относительно различных типов решений нелинейной системы (2.2) позволяет ввести классификацию типов аттракторов, основанную на понятиях устойчивости по Ляпунову и по Пуассону. Предельное множество, отвечающее конкретному типу устойчивого решения, притягивающее к себе фазовые траектории из некоторой области начальных условий, есть аттрактор. Если фазовые траектории на аттракторе устойчивы и по Ляпунову и по Пуассону - аттрактор регулярный, или простой. Если устойчивые по Пуассону траектории в аттракторе неустойчивы по Ляпунову, то аттрактор странный. Регулярных аттракторов существует конечное число: состояния равновесия, периодические и квазипериодические движения. Все другие возможные типы аттракторов — странные.
*) См. замечание на с. 29.
3. B.C. Анищснко
33 2.6. Системы с дискретным временем.
Отображение Пуанкаре
Рассмотренный выше вопрос об устойчивости решений дифференциальных систем может быть поставлен и решен аналогичным образом для систем с дискретным временем. Эти системы могут рассматриваться как самостоятельные при описании, к примеру, экологических процессов, а могут быть получены однозначно из дифференциальных систем при переходе к точечным отображениям Пуанкаре [37-39].
Рассмотрим некоторый режим движения дифференциальной системы, характеризующийся траекторией Г в фазовом пространстве Fn уравнений (2.2). В последнем введем в рассмотрение некоторую гиперповерхность S размерности N- 1. Предположим, что фазовая траектория Г последовательно и трансверсально (под ненулевым углом) пересекает эту поверхность. Поверхность S называется секущей Пуанкаре к фазовой траектории Г.
Траектория Г порождает на секущей некоторое точечное отображение, однозначно (но не взаимно однозначно!) ставящее в соответствие любой точке х(к) пересечения Г с S ближайшую следующую за х(к) точку х(к + 1). Для иллюстрации на рис. 2.1 приведен пример построения точечного отображения в случае N= 3. Последовательность точек отображения задается пересечениями Г с S в одном направлении. Полученное дискретное множество {*(*)} (к » 0, 1, 2, - . .) на секущей называется сечением Пуанкаре для траектории Г.
Закон соответствия между предыдущей и последующей точками пересечения называется отображением доследования или отображением Пуанкаре.
Рис. 2.1. Точечное отображение, порождаемое пересечениями некоторой фазовой траектории Г с секущей поверхностью 5
В общем случае отображение Пуанкаре задается нелинейным дискретным уравнением, размерность которого равна размерности секущей Пуанкаре. Нелинейной динамической системе (2.1) тем самым ставится в однозначное соответствие N - 1-мерное фазовое пространство, которым является секущая гиперповерхность S. Фазовыми траекториями становятся последовательности точек х(А;) на секущей. Каждая последующая точка x(k+ 1) получается путем применения нелинейного преобразования P к предыдущей точке х(к):
х(к+1) = Р\х(к),ц] (2.31)
34 ір - набор параметров) , которое в координатной форме имеет вид
.«/(ft+O-Jt(Mt)l Pi.....I= 1,2,----(TV- 1). (2.32)
Задача изучения динамической системы сводится к задаче изучения соответствующего отображения Пуанкаре. При этом структура динамической системы однозначно (но не взаимно однозначно) определяет структуру порождаемого ею точечного отображения [37].
Нелинейное уравнение (23 О является дискретным аналогом дифференциальной системы, но может, как упоминалось, рассматриваться вне зависимости от порождающей дифференциальной системы *).
В дискретных системах также могут существовать частные решения, представляющие собой стационарные, периодические, квазипериодические и хаотические последовательностиX0(А:).
Устойчивость частного решения X0(At) исследуется на основе соответствующего уравнения в вариациях [39]. Если ввести в рассмотрение малое отклонение (возмущение) у (к) = х(к) - X0 (А:), записать его в координатной форме
у ,(к) = xt(k) - xf (к). /« 1,2....,(^-1). (2.33)
и линеаризовать исходное уравнение (231) вблизи частного решения, то получим линейное дискретное уравнение в вариациях
N- I
М*+0= 2 (dPj/dx,)y,(k), (234)
/• і
где производные берутся в точках частного решения.
В векторной форме уравнения в вариациях записываются аналогично случаю дифференциальных систем:
у(к* \)'М(к,ц)у(к), (235)
не M (к, р) - квадратная матрица линеаризации, элементы которой тх, заданы соответствующими производными (234). Нетрудно убедиться, что из (2.35) следует
к
У(к+\)= П М(і,ц)у(\). (2.36)
i-i
По аналогии с дифференциальными системами определим ляпуновские характеристические показатели частного решения дискретной системы
(2 .34): _
X1= Iim [Ar"' In IlV(Ar)U], (2.37)
