Сложные колебания в простых системах: механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах - Анищенко В.С.
ISBN 5-02-014168-2
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
Движения динамических систем не всегда строго отвечают режиму странного аттрактора, что в деталях обсуждается в дальнейшем.
Аттракторы в виде состояний равновесия, предельных циклов или /•мерных торов называют простыми или регулярными, подчеркивая тем самым, что движения на них отвечают сложившимся представлениям об устойчивом по Ляпунову детерминированном поведении динамической системы. Со странным аттрактором связывается реализация сложного нерегулярного (в смысле отсутствия периодичности) колебательного режима, который во многом сходен с нашими представлениями о стационарных случайных процессах.
Однако термин "случайный" имеет вполне определенный смысл. Случайное движение непредсказуемо либо предсказуемо с определенной вероятностью. Другими словами, траектории случайного движения нельзя многократно и однозначно воспроизвести ни в численном, ни в физическом экспериментах. Примером служит классическое движение броуновской частицы. В случае странного аттрактора имеется строгая предсказуемость в смысле детерминированности оператора эволюции Tr (х). Решение уравнений (как н для регулярных аттракторов) подчиняется теореме единственности и однозначно воспроизводится при фиксированных начальных условиях. Поэтому для обозначения сложных "uiyмолодобных" автоколебаний, математическим образом которых служит странный аттрактор, используются термины типа динамическая стохастичностъ, детерминированный хаос и подобные. Важно отличать эти процессы от стохастических в классическом смысле, которые при описании требуют учета флуктуаций в исходных динамических уравнениях либо непосредственно подчиняются уравнениям для плотности распределетя вероятностей статистической теории [28-30].
Принципиальное различие регулярных н странных аттракторов динамических систем состоит в следующем. Регулярные аттракторы характеризуются асимптотической устойчивостью и по Ляпунову и по Пуассону. Для странных аттракторов устойчивость но Пуассону всегда сопровождается экспоненциальной неустойчивостью по Ляпунову. Как следствие, это ведет к экспоненциальной расходимости близких траекторий (чувствительности к малым изменениям начальных данных), а также к перемешиванию [15, 31, 32]. Наличие экспоненциального "разбегания" близких
24 траекторий может служить количественной характеристикой и критерием "странности" аттрактора. Перемешивание как результат экспоненциальной неустойчивости дает основания для возможности построения статистической теории странных аттракторов.
К сожалению, на пути создания статистической теории реальных хаотических аттракторов динамических систем возникают сложности принципиального характера. Они обусловлены тем, что практически анализируемые автостохастические системы не удовлетворяют строгим требованиям грубой гиперболичности. Образом хаотических автоколебаний в таких системах являются так называемые квазиаттракторы — более сложным образом устроенные (в сравнении со странными аттракторами) притягивающие множества в фазовом пространстве. Тем не менее все возрастающий уровень понимания качественных закономерностей формирования квазиаттракторов в совокупности с конструктивным использованием фундаментальных представлений статистической физики вселяет надежды на возможности успешного решения в будущем этой важной проблемы. ГЛАВА 2
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
2.1. Устойшвосгь решений дифференциальных систем по линейному приближению. Уравнения в вариациях
Пусть динамическая система задана автономными уравнениями */ =fi(xi,x3,...,xN-, PltIii.....Mm), Iя 1,2.....Nt (2.1)
в которых правые части // - в общем случае нелинейные дифференцируемые функции, зависящие от параметров р*, или в векторной форме
X'F(XtH). (2.2)
Будем сштать, что система (2.1) не обладает какими-либо специальными свойствами симметрии, являясь системой общего положения.
Пусть X0(г) - частное решение системы, устойчивость которого нужно исследовать. Введем в рассмотрение переменные yt (t), характеризующие малое отклонение от частного решения:
>•/(') = *у (г)-х?(г). (23)
Подставив (23) в (2.1),получим
y~F(x°+y)-F(x°)t
или
у,' 2(Э/,/а*Дк, + 0(;к,). (2-4)
где производные // взяты в точках частного решения х, = х®. Совокупность нелинейных относительно Уі членов О(уі) стремится к нулю с уменьшением возмущений уі быстрее суммы линейных слагаемых.
Устой<ивость частного решения нелинейной системы X0(t) определяется устой<ивостъю линеаризованной системы (2.4):
УI= 2 (Wtal)y,. (25)
/-і
Уравнения (25) называют уравнениями в вариациях [33-35]. Их можно 26 записывать в матричной форме:
У =A(t)y, (2.6)
где А (г) - квадратная матрица, элементы которой определяются производными
«,./(О = bftlbXj I .. /, / - 1,2..... N. (2.7)
І і і
Для линейного матричного уравнения (2.6) существует фундаментальная система решений. Фундаментальная матрица решений Y(t), составленная из N линейно независимых решений системы (2.6), удовлетворяет матричному уравнению
ї(0*М0У(0- (2 Л)
Произвольное решение системы (2.6) может быть записано в виде
