Сложные колебания в простых системах: механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах - Анищенко В.С.
ISBN 5-02-014168-2
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
14 энергия уменьшается во времени ввиду наличия трения или рассеяния, называются диссипатинпыми. В соответствии с этим системы, энергия которых во времени нарастает, называются системами с отрицательным трением или отрицательной диссипацией. Такие системы можно рассматривать как диссипативные при смене направления отсчета времени на противоположное. Принципиальной особенностью диссипативных систем является зависимость элемента фазового объема от времени. В системах с поглощением энергии фазовый объем во времени уменьшается, в системах с отрицательным трением - увеличивается. Это обстоятельство приводит к тому, что в диссипативных нелинейных системах могут существовать изолированные траектории, являющиеся предельными для начальных состояний из некоторой области притяжения.
Динамические системы называются автономными, если они не подвержены действию внешних сил, переменных во времени. Уравнения автономных систем явной зависимости от времени не содержат. Та или иная форма во і.чейсівия на систему делает ее неавтономной и приводит к явной зависимости уравнений от времени.
Большинство реальных колебательных систем в физике, радиофизике, биологии, химии и других областях знаний является неконсервативными. Среди них выделяется особый класс так называемых автоколебательных систем, которые принципиально неконсервативны и нелинейны. Автоколебательной называют динамическую систему, преобразующую энергию источника в энергию незатухающих колебаний, причем основные характеристики колебаний (амплитуда, частота, форма колебаний и т.д.) определяются параметрами системы и в определенных пределах не зависят от выбора исходного начального состояния [17].
1.5. Фазовые портреты типовых колебательных систем
Геометрическое представление колебаний. Метод анализа колебательных процессов с помощью исследования фазовых траекторий динамической системы был введен в теорию колебаний Л.И. Мандельштамом [16] и A.A. Андроповым [17] и с тех нор стал привычным инструментом при исследовании самых различных колебательных явлений. С открытием динамической стохастичности роль этого метода существенно возросла. Изучение сложных автоколебаний с помощью анализа соответствующих фазовых портретов достаточно наглядно и дает больше информации, чем, скажем, наблюдение временных реализаций и спектров процесс*. Анализ фазовых портретов в режиме стохастических колебаний позволяет судить о топологической структуре предельного стохастического множества, которую по виду реализаций процессов определить затруднительно. Конечно, наиболее ичерпывающую информацию о сложных колебательных промессах удается получить с применением комплекса методов, однако методу анализа фазовых траекторий в этом вопросе принадлежит важное место.
Рассмотрим несколько простых, но типичных примеров представления динамических процессов в виде траекторий изображающей точки в фазовом пространстве, обратив особое внимание на некоторые детали, важные для анализа стохастических режимов колебаний.
15 Консервативный осциллятор. Рассмотрим линейный осциллятор без потерь, уравнения которого можно сфирмулировать на примере колебательного /.С-контура (рис. 1.1а), предположив амплитуду колебаний достаточно малой. Выбрав в качестве неременной заряд q на конденсаторе, с помощью уравнений Кирхгофа получим
q + (LCyxq = 0. (19)
Домножив (1.9) на Lq . находим изолирующий интеграл системы :
;Л „2
JLfbsL + ^V0.
Jt \ 2 2 CJ
(1-Ю)
(1-11)
i.e. для любого момента времени выполняются равенства
E = El + Hc = const. Eli = Lq212. Ec = q2/2C,
отражающие постоянство во времени полной энергии осциллятора (суммы магнитной El и электрической Ec энергий). В более удобных координатах уравнения консервативного осциллятора можно записать следующим образом:
(1-12)
X + X =0, X1 + X2 - а1, a = const.
Введя фазовые координаты Xi = х и х2 = х, запишем уравнения в виде і, = X2, X2 = -г,; = а2. (1-13)
Фазовый портрет системы представляет собой окружность радиуса а с центром в начале координат. Точка в фазовом пространстве, в которой
Рис. 1.1. Колебательный контур, моделируемый уравнениями (1.12) <в),н фазовый портрет его колебаний при фиксированном уровне энергии (б)
вектор фазовой скорости обращается в нуль, называется особой, и в данном случае нуль координат есть особая точка типа центр.
Наличие интеграла движения у консервативной системы 2-го порядка, отражающее в данном примере факт сохранения энергии, дает возможность описать ее с помощью уравнения 1-го порядка. Действительно, введя новую неременную ip соотношениями
дг і = a cos ifi. X2 ~ a sin ifi, (1.14)
получим уравнения
ф = 1. а = 0. (1.15)
16 которые и определяют закон движения фазовой точки. Во времени эволюционирует одна переменная ?, и фазовое пространство консервативного осциллятора, таким образом, одномерно.Гармоническим колебаниям осциллятора отвечает равномерное движение изображающей точки по окружности радиуса а, как это показано на рис. 1.1 б.
Если консервативная система нелинейна, то ее фазовый портрет усложняете». Проиллюстрируем это на примере уравнений нелинейного консервативного осциллятора
