Сложные колебания в простых системах: механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах - Анищенко В.С.
ISBN 5-02-014168-2
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
х + sin X = 0. (116)
В фазовых переменных X1 = х. X2 = х эти уравнения записываются следующим образом:
X1 =х2, x2=-sin.Vi. (117)
Состояния равновесия нелинейного маятника на фазовой плоскости расположены вдоль оси X1 (х2 = 0) в точках Xi = 0, ±тг, ±2я . . . Соответствующий фазовый портрет системы представлен на рис. ] .2. Видно, что особые точки Xi = 0, ±2я, ±4я,. .. - типа центр, a Xi = ±я. ±3я, . . . - неустойчивые точки типа седло.
Вблизи центров фазовый портрет качественно соответствует линейному осциллятору: траектории представляют собой концентрические замкнутые кривые, близкие к окружностям, отражающим характер малых по амплитуде колебаний, близких к гармоническим. Через неустойчивые точки проходят особые интегральные кривые Г0, называемые сепаратрисами седла. Они разделяют фазовое пространство на области с принципиально различным поведением [ 17]. С увеличением энергии маятника его
го уравнениями (1.17)
колебания от квазигармонических вблизи точек типа центр эволюционируют к нелинейным периодическим колебаниям вблизи сепаратрис (движения внутри области, ограниченной сепаратрисами). Дальнейшее увеличение энергии приведет к вращательному движению (движения вне сепаратрис). Ситуация, когда энергия маятника соответствует движению по сепаратрисе, называется негрубой. Малейшие отклонения энергии в ту или иную сторону приводят к качественно различным типам движения: колебательному либо вращательному [17].
Как видно из рис. 1-2, состояние маятника определяется углом его отклонения ОТ положения равновесия X] и скоростью х2, но для значений
2. П С. Анищенко
17 Рис. 1.3. Фаю вые іраекгории осшшлятора. моделируемого уравнениями (1.17), на цилиндре
T0,
сепаратриса
Xt, отличающихся на целое число 2ля, динамика системы идентична. Поэтому плоскость переменных Х\, X2 не является, строго говоря, фазовой плоскостью системы в силу отсутствия однозначности. Пока речь идет о движениях, изображающие траектории которых лежат внутри сепаратрис-ного контура, т.е. о колебаниях в окрестности центра, неясностей не возникает. Но в случае, если энергия системы превышает критическое значение и движение становится вращательным, фазовая плоскость не годится для однозначного описания и в рассмотрение вводят цилиндрическое фазовое пространство.
На цилиндрической фазовой поверхности ситуация изображается, как это показано на рис. 1.3. Кривые, лежащие внутри сепаратрис, замкнуты и охватывают особую точку - центр. Кривые вне сепаратрис также замкнуты, но они охватывают цилиндр и описывают новый тип периодических движений, обусловленных вращением. Введение в рассмотрение цилиндрического фазового пространства позволяет, помимо периодических движений, лежащих на поверхности цилиндра, анализировать новый класс периодических движений, траектории которых охватывают сам цилиндр-
Общей особенностью консервативных систем является, как ужг отмечалось. сохранение во времени фазового объема системы. Следствием этого является отсутствие притягивающих или изолированных фазовых траекторий. Притягивающих в том смысле, что все траектории из некоторой области фазового пространства со временем к ним стремятся. Если в консервативной системе возможно периодическое движение, то таких движений бесконечно много и определяются они заданием начальных условий для энергии.
Линейный осциллятор с затуханием. Диссипация энергии, обусловленная наличием потерь, оказывает принципиальное влияние на характер движения системы. Наиболее простые закономерности проявляются в системах с полной диссипацией энергии, когда силы трения действуют по всем степеням свободы, а поступление энергии извне отсутствует. Рассмотрим процессы в линейном осцилляторе с вязким трением, когда сила трения пропорциональна скорости изменения координаты. Примером такой системы служит колебательный контур, содержащий активное сопротивление R Уравнение диссилативного контура
Lq * Rq * q/C = 0 (1.18)
заменой переменных сводится к безразмерной форме
X + 25х +х = 0, Ib=RyfflC, т-t/y/LC (1.19)
18 Рис. 1.4. Фазовые траектории уравнения (1.19) с параметром Л <1 (л) иб > 1 (б)
При 5=0 имеем консервативный линейный осциллятор, рассмотренный выше. Введение сколь угодно малого трения 0 < 5 < 1 качественно меняет фазовый портрет системы. Для 0 < 5 < 1 решением уравнения (1.19) является
X =i4exp(-5T)cos(cjt + ф), cj = (I-Sj)1'2, (1.20)
где А и ф — произвольные постоянные, определяемые начальными условиями. На фазовой плоскости для любых начальных данных имеют место скручивающиеся спирали, по которым фазовые точки асимптотически приближаются к началу координат, характеризуя затухающий колебательный процесс. Нуль координат является особой точкой системы, которая в случае 5 < і есть устойчивый фокус (рис. 1 Aa). Если коэффициент вязкого трения 5 > 1, процесс в системе апериодический:
х = А Jexp(X1t) +Л,ехр(Х,т). Xlfj=Mtp1 -1)^1/2, (1.21)
и фазовые траектории выглядят в виде семейства характерных кривых, по которым, как и в предыдущем случае, изображающие точки стремятся к нулю координат (рис. 1.4б). Особая точка в указанных условиях является устойчивым узлом.
