Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Анищенко В.С. -> "Сложные колебания в простых системах: механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах" -> 10

Сложные колебания в простых системах: механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах - Анищенко В.С.

Анищенко В.С. Сложные колебания в простых системах: механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах — М.: Наука, 1990. — 312 c.
ISBN 5-02-014168-2
Скачать (прямая ссылка): slojniekolebniya1990.pdfСкачать (прямая ссылка): slojniekolebaniya1990.pdf
Предыдущая << 1 .. 4 5 6 7 8 9 < 10 > 11 12 13 14 15 16 .. 132 >> Следующая


Наконец, рассмотрим еше один случай типичной структуры в фазовом пространстве динамической системы, возникающей, например, при периодическом возмущении системы с предельным циклом. Добавим в уравнение (1-22) источник гармонического возмущения сравнительно малой амплитуды В и частоты р, которую садтаем рационально не связанной с частотой периодических колебаний автономного осциллятора:

X -a(l-bx1)x*x'Bsin(pr*<fi0). (1.25)

Периодическая модуляция предельного цикла автономной системы приводит к тому, что фазовая траектория с заданной частотой р вращается вокруг предельного цикла и лежит на двумерном многообразии, представляющем собой тороидальную поверхность. Аналогично случаю предельного цикла эта поверхность будет устойчивым предельным множеством, к которому стягиваются со временем все траектории из некоторой окрестности тора (как изнутри него, так и снаружи!). Нетрудно представить себе, что минимальная размерность фазового пространства, в которое можно вложить двумерный тор, равна трем. На рис. 1.6 показана проекция на плоскость переменных X|, X2 фазовой траектории на двумерном торе, полученная численным интегрированием системы (1.25).

1.7. Регулярные и странные Аттракторы динамических систем

Рассмотренные выше примеры иллюстрируют типичные предельные множества траекторий на фазовой плоскости: состояния равновесия, периодические движения и особые траектории типа сепаратрисных контуров, двоякоасимптотических к седловым состояниям равновесия. Указанные предельные множества полиостью исчерпывают возможные ситуации на фазовой плоскости. Им отвечают три различных типа решений уравнений. Отметим, что в реальных системах "сепаратрисные" решения в принципе не реализуются ввиду их неустойчивости. К обсуждению этого вопроса мы еше вернемся.

22 Движения диссипативных систем целесообразно разделить на два класса: класс переходных, нестационарных движений, отвечающих процессу релаксации от начального к предельному множеству состояний, и класс установившихся, стационарных движений, фазовые траектории которых целиком принадлежат предельным множествам. Важными с физической точки зрения являются притягивающие предельные множества - аттракторы. С течением времени произвольное начальное состояние из некоторой области притяжения G, включающей в себя аттрактор G9, релаксирует к

Рис. 1.7. Предельные множества траекторий на фазовой плоскости. W1 - фокус с областью притяжения /,г - предельный цикл с областями притяжения 2 и 3

G0- Движение, которому отвечает фазовая траектория в области притяжения, есть переходной процесс. Установившееся движение характеризуется принадлежностью фазовых траекторий инвариантному предельному множеству, т.е. аттрактору Со-

На рис. 1.7 представлены возможные предельные инвариантные множества на фазовой плоскости, указаны аттракторы и области их притяжения.

К чему может привести повышение размерности системы, например, до N ш з, т.е. выход с плоскости в трехмерное фазовое пространство? Совсем еще недавно, до начала 60-х годов, с увеличением размерности фазового пространства диссипативных систем связывали возможность появления (в дополнение к указанным выше) лишь квазипериодических аттракторов, соответствующих движениям на />-мерных торах [22-24]. Примером из радиофизики является режим биений, когда периодическое колебание частоты U0 модулируется сигналом частоты со, Ф ы0, в общем случае рационально не связанной Cu0-Bфазовом пространстве системы траектории притягиваются к двумерной поверхности тора, который и является хвазипериодическим аттрактором (рис. 16).

Важным результатом исследований последних лет явилось обнаружение принципиально новых типов движений в динамических системах. Таким движениям в фазовом пространстве размерности N > 3 соответствуют сложным образом устроенные притягивающие множества, траектории изображающих гочек которых не принадлежит ни к одному из описанных выше типов аттракторов. Фазовые траектории представляются здесь в виде бесконечной нигде не пересекающейся линии, причем при t траектория не покидает замкнутой области н не притягивается к известным типам аттракторов.

23 Такне траектории в математике называют устойчивыми по Пуассону, имея в виду факт возв ращаемости траектории со временем в малую окрестность начальной точки. Именно с существованием таких траекторий связывают возможность стохастического поведения детерминированных динамических систем с размерностью фазового пространства N> 3.

Впервые подобные свойства динамической системы в 1963 г. обнаружил Э- Лоренц при численном исследовании динамики трехмерной модели тепловой конвекции [26]. Спустя восемь лет в теоретической работе Д. Рюэля и Ф. Таксиса притягивающая область в фазовом пространстве динамической системы, характеризующаяся режимом установившихся непериодических автоколебаний, была названа странным аттрактором [27]. Этот термин был сразу воспринят исследователями и утвердился для обозначения математического образа режима нерегулярных автоколебаний детерминированных динамических систем.
Предыдущая << 1 .. 4 5 6 7 8 9 < 10 > 11 12 13 14 15 16 .. 132 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed