Сложные колебания в простых системах: механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах - Анищенко В.С.
ISBN 5-02-014168-2
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
23. Устойчивость состояний равновесия
Если частное решение x°(t) характеризует состояние равновесия, т.е. не зависит от времени, то правые части (2.1) обращаются в нуль:
/,(*?.*?.....(2.18)
Корни алгебраических уравнений (2.18) определяют координаты возможных состояний равновесия, отвечающих особым точкам в фазовом пространстве системы. В особой точке матрица А системы в вариациях от времени не зависит и обіцее решение системы имеет вид
^(0«ехр(4г)7(/р). (2.19)
Решение устойчиво по Ляпунову, если собственные числа матрицы линеаризации, определяемые корнями векового уравнения
det(/4 -*?"!¦= О, (220)
характеризуются действительными частя*« Re Sf < 0. Если все Si удовлетворяют строгому неравенству Res, < 0, то решение y(t) асимптотически
¦) Равенство нулю старшего показателя спектра ЛХП устойчивого периодического решения впервые доказано A.A. Андроновым (17). Лля произвольного ограниченного решения х*(г) автономной системы (2.1), не стремящегося во времени к особой точке, по крайней море один из показателей спектра ЛХП всегда равен нулю [10].
29 устойчиво. Это означает, что произвольные малые возмущения положения равновесия х° затухают и при t -*¦00 асимптотически стремятся к нулю.
Спектр ЛХП устойчивого стационарного решения, как это видно из определения (2.11), состоит из упорядоченных по убыванию отрицательных чисел X1 = Resf(M), < = 1. 2... N. Условием асимптотической устойчивости решения будет отрицательность старшего показателя спектра ЛХП. Если хотя бы одно из собственных значений положительно в своей действительной части, то равновесие неустойчиво. Условие ReS1 (д) Ф 0 выделяет случай грубых состояний равновесия, которые либо устойчивы, либо неустойчивы в некоторой конечной области вариации параметров р.
Обращение в нуль старшего показателя спектра ЛХП стационарного решения x°(f) отвечает бифуркационной ситуации и требует специального анализа, изложению которого посвящена гл. 3. Здесь же отметим, что сигнатура спектра ЛХП аттрактора системы, представляющего собой устойчивое равновесие, имеет вид
>f » » ff «f ff ff ff » f t««*t •
Потеря устойчивости равновесным решением (состоянием) означает переход от одного грубого устойчивого аттрактора к какому-либо другому типу аттрактора через негрубое состояние в точке бифуркации.
2.4. Устойчивость периодических решений. Мультипликаторы предельного цикла
Любое периодическое частное решение системы (2.1) выделяется условием
x°(t)=x°(t + T), T- период решения. (2.21)
Устойчивость периодического решения определяется исследованием соответствующей системы в вариациях, которая также является периодической:
У=А(0У, A(t)=A(t + T). (222)
Нетрудно убедиться в том, что если Y(t) — нормированная фундаментальная матрица решений системы (222), то матрица Y(t + T) также является фундаментальной и справедливо соотношение [35]
Y(t + T)=Y(t)Y(T). (223)
Матрица Y(T) носит название - матрицы или оператора монодромии. Решение уравнений в вариациях в силу (2.23) определяет линейное отображение, ставящее в соответствие произвольному значению возмущения y(t) значение возмущения y(t + T) через период:
y(t + T)=Y(T)y(t). (2.24)
Матрица монодромии не зависит от времени. Собственные значения р{ матрицы монодромии Y(T), т.е. корни характеристического уравнения
det[y.(r) — рЕ] = 0, (2.25)
называются мультипликаторами периодического решения x°(t) и определяют его устойчивость. Действительно, действие оператора монодромии
30 (2.24) заключается в том, что первоначальное возмущение периодического решения, рассматриваемое в проекциях на собственные векторы, через период Г умножается на соответствующий мультипликатор Pi. Значит, затуханию возмущений должно отвечать требование I Pi \ < 1.
Любому мультипликатору Pi соответствует нетривиальное решение + Г) = PiZit) системы (2.22), и наоборот, выполнение указанного равенства служит определением мультипликатора. Отсюда следует важный вывод: периодическое решение дг°(г) имеет по крайней мере один из мультипликагоров, равный +1 [ 17,35].
Мультипликаторы как собственные значения матрицы монодромии удовлетворяют соотношениям
S Pi ¦ Sp Y(T), П р, = del >'(П > 0, (2.26)
/»I i=l
которые весьма полезны при анализе численных результатов.
Спектр ЛХП периодического решения определяется в соответствии с (2.11) через мультипликаторы
Х(=!п|р, 1/7". (2.27)
Один из показателей спектра всегда равен нулю и отвечает единичному мультипликатору. Если все оставшиеся на комплексной плоскости значений мультипликаторы принадлежат внутренности единичного круга, т.е. I Pi I < 1, / = 1, 2,... ,N- 1,то периодическое решение устойчиво. Сигнатура спектра ЛХП устойчивого предельного цикла такова:
V , , , . . . ,
Если по одному или нескольким собственным направлениям возмущения нарастают, то соответствующие мультипликаторы |р| > 1 и в спектре ЛХП периодического решения появятся положительные показатели. Периодическое решение, часть мультипликаторов которого лежит внутри единичного круга, а часть - вне его, является неустойчивым и называется седловым.
