Сложные колебания в простых системах: механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах - Анищенко В.С.
ISBN 5-02-014168-2
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
к-*"
где у'(к) представляет собой /-с фундаментальное решение системы уравнений (2.35).
*) Для отображений Пуанкаре (см. рис. 2.1) существует строгая функциональная взаимосвязь непрерывного времени t с точками дискретизации Ijc, причем разность 'к і - г* * Д(<-). Для дискретных модельных систем эта взаимосвязь утрачивается и полагается Д - I. С этим, в частности,связано го,что конкретной фазовой траектории ".'!Позначно соответствует отображение P на секущей, но обратное неверно.
3-
35 2.7. Устойчивость решений дискретных систем
Совокупность чисел Xi. X......Х%_ і» не зависящих от дискретного
времени и удовлетворяющих исходному нелинейному уравнению (232), называется неподвижной точкой X0 дискретной системы отображения или ее стационарным решением. Матрица линеаризации уравнений в вариациях также не зависит от к. Устойчивость стационарного решения определяется собственными значениями матрицы М:
det(A/ - р?) = 0, (2.38)
т.е. мультипликаторами неподвижной точки P1. Стационарное решение асимптотически устойчиво, когда все мультипликаторы по модулю строго меньше единицы. Соответствующий спектр ЛХП аттрактора системы в виде устойчивого состояния равновесия определяется упорядоченной по убыванию совокупностью Xf:
Xf = InIpfKO. (2.39)
Решение Jt0(Jk) - периодическое, если выполняется условие
Jf0(Af) = Jt0 (Jt + л), п - период.
В этом случае X0 (к) называется п-периодическим решением дискретной системы или п-циклом отображения. Матрица линеаризации также /{-периодическая, т.е. Af (k)=Af (к + п).
Аналогом матрицы монодромии в данном случае является матрица Afn. не зависящая от дискретного времени:
М„=М(п)М(п- 1)-...М(1). (2.40)
Для периодических решений дискретное время можно измерять целым числом периодов к - гп, что позволяет записать
у (к) = AfPy(I), Afp = Mtt Mn-... Mn. (2.41)
г раз
Мультипликаторы Pnf матрицы линеаризации л-цикла отображения Mn вычисляются аналогично (238):
det(Af„-p„?)=0. (2.42)
Они определяют устойчивость 1-периодического решения. Нетрудно убедиться, что по определению (237) спектр ЛХП л-периоцического решения состоит из
Xf = In Ipnf |/л. (2.43)
Асимптотически устойчивому /!-циклу отображения отвечают мультипликаторы I Pnf I < 1 для любых і = 1,2.....N- 1. Спектр ЛХП устойчивого /і-цикла содержит, таким образом, только отрицательные числа.
Если дискретное уравнение (231) представляет собой отображение Пуанкаре некоторой дифференциальной системы, то стационарная точка отображения отвечает простому однооборотному предельному циклу в этой системе. Наличие /!-периодической точки в отображении соответ-
36 ствует л-тактному. более сложному предельному циклу дифференциальной системы. В отличие от потоковых систем в отображениях стационарные и периодические решения характеризуются в общем случае л-циклом (л * 1, 2, 3, . . . ). Сигнатура спектра ЛХП этих решений одинакова для аттракторов в виде устойчивой неподвижной точки периода 1 и любого другого периода л = 2,...:
И ft tl _ •» »» _ 99 99 ___ 99
> 9 9 • • • 9 *
Линеаризованная матрица отображения Пуанкаре Mn в общем случае, включая л = ], есть аналог матрицы монодромии произвольного периодического решения исходной дифференциальной системы. Замечательное свойство отображения Пуанкаре заключается в том,что собственные значения линеаризации Pnt /'= 1,2,... ,JV- !,дополненные единичным мультипликатором ру = 1, строго равны собственным значениям матрицы монодромии Y(T) дифференциальной системы (2.2). На этом основании устойчивость периодических режимов колебаний в дифференциальных системах количественно характеризуется мультипликаторами л-цикла отображения Пуанкаре. Спектр ЛХП отображения Пуанкаре,дополненный одним нулевым показателем, даст соответственно спектр ЛХП периодического решения дифференциальной системы, порождающей соответствующее отображение.
Мультипликаторы отображения характеризуют изменение проекций вектора возмущения частного решения на собственные направления матрицы линеаризации за один период. Если частное решение не является л-циклом и представляет собой квазипериодическую или хаотическую последовательность х°(к), понятие мультипликатора утрачивает смысл. Задача анализа устойчивости решений усложняется и требует прямого вычисления показателей спектра ЛХП в пределе к -+ °° численными методами, как и в случае апериодических решений дифференциальных систем. Алгоритмы расчета обсуждаются в гл. 5. а здесь отметим, что сигнатура спектров ЛХП квазипериодических и хаотических аттракторов в отображениях аналогична соответствующим аттракторам потоковых систем за вычетом одного нулевого показателя. ГЛАВА З
ТИПИЧНЫЕ БИФУРКАЦИИ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
3.1. Структурная устойчивость и бифуркации
Исследование условий сохранения структуры притягивающих предельных множеств при возмущениях - задача, связанная с введением понятий грубости, структурной устойчивости и топологической эквивалентности диссипативных динамических систем. С физической то>иси зрения представляются реальными такие математические модели, которые при малых возмущениях качественно не меняют структуры разбиения пространства параметров на области, отвечающие различающимся типам решений. Такие модели называют грубыми или структурно устойчивыми. Понятие грубости системы, введенное A.A. Андроновым и Л.С. Понтрягиным для двумерных систем, оказалось чрезвычайно важным и полезным в физике. Совершенно ясно, что практически невозможно записать точную систему уравнений, соответствующую конкретной физической системе, функционирующей в произвольном из некоторого множества возможных режимов. Следовательно. модельная динамическая система должна обладать качественными свойствами, сохраняющимися при малых возмущениях.
