Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Анищенко В.С. -> "Сложные колебания в простых системах: механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах" -> 18

Сложные колебания в простых системах: механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах - Анищенко В.С.

Анищенко В.С. Сложные колебания в простых системах: механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах — М.: Наука, 1990. — 312 c.
ISBN 5-02-014168-2
Скачать (прямая ссылка): slojniekolebniya1990.pdfСкачать (прямая ссылка): slojniekolebaniya1990.pdf
Предыдущая << 1 .. 12 13 14 15 16 17 < 18 > 19 20 21 22 23 24 .. 132 >> Следующая


40 Слева от точки В движение по параметрам трансверсально к бифуркационным линиям I0 характеризуется гистерезисом: в одном направлении осуществляется срыв равновесия за счет слияния и исчезновений состояний равновесия де і и х°, в обратном направлении - за счет слияния и исчезновения другой пары состояний равновесия х° нх°.

Особенность, возникающая при проецировании многообразия бифуркации "трехкратное равновесие" на пространство параметров, называется сборкой [48, 49]. Сборке, как это видно из рис. 3.2, отвечает пересечение двух бифуркационных линий складок I0 в точке сборки В.

Бифуркация рождения предельного цикла. В динамических системах размерности N > 2 может реализоваться бифуркация коразмерности 1, когда в нуль обращаются действительные части комплексно-сопряженной пары собственных чисел матрицы линеаризации стационарного решения. Этой бифуркации отвечает возбуждение автоколебаний, и она носит название "бифуркация Андронова - Хопфа".

Пусть при некоторых значениях параметров пара комплексно-сопряженных значений 5|,2 положения равновесия динамической системы на плоскости становится чисто мнимой, т.е.

Reii^(Mo) = O, Imjli2(Mo)^O. (3.8)

Модельная система, локально описывающая данную бифуркацию, зависит от одного параметра и в комплексной форме записывается в виде [40,46]

i = (b1+ju)z+?1z\z\2, (3.9)

где

W(Mo)=JfcO, JC1(M0) *0.

Величина JC1(M) называется первой ляпуновской величиной состояния равновесия и определяет устойчивость периодического режима, рождающегося в результате бифуркации Андронова - Хопфа.

Рассмотрим бифуркационные диаграммы модельной системы на плоскости. Независимо от знака первой ляпуновской величины положение равновесия z = 0 системы (3.9) при переходе Ьх через нуль теряет устой-

P и с. 3.2. Многообразие бифуркации "трехкратное равновесие". Особенность типа сборки

41 I' и с. 3.3. Мягкая бифуркация Андронова - Холфа

чивость. Устойчивый при oi < 0 фокус превращается в неустойчивый при bt >0.

Пусть JCi(/io) < 0. В этом случае потеря устойчивости состояния равновесия сопровождается рождением малого устойчивого предельного цикла, размер которого растет с изменением параметра как корень квадратный из иадкритичности, а период цикла определяется соотношением

Ts* 2я/ы(/10): ы(м0)я Ilms,.J(M0)I- (3-Ю)

В этом случае говорят о мягкой бифуркации рождения предельного цикла. Перестройка фа jo вою портрета системы в случае мягкой бифуркации Андронова ~ Хопфа представлена на рис. 33.

Рассмотрим случай JCiOi0) > 0. Состояние равновесия до точки бифуркации окружено неустойчивой замкнутой траекторией, ограничивающей область притяжения устойчивого фокуса 0. При подходе к точке бифуркации неустойчивый цикл стягивается к состоянию равновесия. В точке бифуркации цикл исчезает, сливаясь с точкой равновесия, которая становится неустойчивой. В системе устанавливается какой-то другой режим, сильно отличающийся от режима, претерпевшего бифуркацию. В этом случае говорят о жесткой потере устойчивости (46). Перестройка фазового портрета системы в случае жесткой бифуркации Андронова - Хопфа показана на рис. 3.4.

Отметим, что условие отличия от нуля первой лянуиовской вели'шны обеспечивает рождение (?, <0) или гибель (JCi >0) единственного предельного цикла в системе.

Нелокальная бифуркация коразмерности I - петля сепаратрисы седло-во го состояния равновесия. Рассмотрим один важный для дальнейшего случай нелокальной бифуркации грубого седлового состояния равновесия: образование особой фазовой траектории, когда одна из выходящих сепа-

P и с. 3.4. Жесткая бифуркация Ашцюкова - Холфа

42 у

у



Рис. 3.5. а - К определению функции расщслпения сепаратрис Hin) .6 - Возможные случаи разрушения петли сепаратрисы i 0

ратрис седла x°(jjl) возвращается назад в седло, образуя петлю сепаратрисы Г0. Выполнению этого чисто геометрического условия в пространстве параметров системы отвечает бифуркационное многообразие коразмерности один.

Перестройки фазовых портретов системы вблизи петли сепаратрисы при вариации параметров относительно бифуркационного многообразия характеризуются функцией расщепления сепаратрис. Рассмотрим случай двумерного фазового пространства, в котором введем вблизи седла одномерную секущую S. Определим на секущей координату гкак это показано на рис. 3.5а. Назовем функцией расщепления сепаратрис H(ji) разность координат пересечения входящей и выходящей сепаратрис с секущей S:

H(ft) = v*-V'-

Если расщепление отвечает случаю А (рис. 3.56), то H(JJi) < 0. в случае В //(/и) > 0. Реализации петли сепаратрисы отвечает нулевое значение функции H(Ji) = O.

Условием грубости данной бифуркации является отличие от нуля величины а(ц), которая называется се&ювой величиной:

o(ji) = Sp ,4Gi) = J1(M) + Jj(M) * 0. (3.11)

В качестве бифуркационного параметра можно рассматривать значение функции H(ji). Пусть о < 0. Тогда при H(ji)< 0 (разрушение петли в сторону А на рис. 3.56) из петли сепаратрисы Г0 рождается единственный устойчивый предельный цикл. Если H(ji) > 0 (разрушение петли в сторону В), то из петли ничего не рождается. При значениях седповой величины и > 0 петля Г0 называется неустойчивой и из нее при расщеплении сепаратрис может возникнуть только неустойчивый предельный цикл [40. 47. 50|.
Предыдущая << 1 .. 12 13 14 15 16 17 < 18 > 19 20 21 22 23 24 .. 132 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed