Сложные колебания в простых системах: механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах - Анищенко В.С.
ISBN 5-02-014168-2
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
Структурно устойчивыми называют такие дифференциальные динамические системы, для которых малые возмущения оператора эволюции, дифференцируемые хотя бы один раз. приводят к топологически эквивалентным решениям. Последнее, по сути дела, означает, что возмущенный поток можно перевести в невозмущенный с помощью некоторой непрерывной замены фазовых координат.
Реакция динамической системы на малое возмущение определяется ее состоянием, и в одних случаях возмущающие факторы влияют на режим функционирования системы незначительно, в других - приводят к резкому отличию характера возмущенного движения по сравнению с исходным. В первом случае состояние системы (или тип движения) устойчиво, во втором - нет. Как было показано в гл. 2, задача теории устойчивости в том и состоит, чтобы указать признаки и сформулировать критерии, позволяющие с определенной уверенностью судить о том, устойчиво или нет рассматриваемое движение системы.
38 Большинство интересных физических задач при их математическом описании продит к дифференциальным уравнениям, зависящим от параметров. Изменение параметра может вызвать потерю устойчивости одним режимом движения и переход системы в другое состояние. Пример - возникновение периодических колебаний в генераторе Ван дер Поля с превышением порога генерации. Это явление называется бифуркацией, а значение параметра, при котором оно происходит, - точкой бифуркации. Особо интересны такие бифуркации, в результате которых при прохождении точки бифуркации в системе возникают новые устойчивые режимы движения.
Иерархия смены одних устойчивых состояний системы другими с изменением управляющих параметров вызывает последовательность фазовых переходов от одних грубых (структурно устойчивых) режимов к другим грубым и осуществляется через негрубое состояние в точке бифуркации.
Математической основой элементарной теории бифуркаций является кратко изложенная в гл. 2 теория устойчивости. С помощью теорий устойчивости и бифуркаций становится возможным рассмотрение задачи о разбиении фазового пространства динамической системы на типичные траектории, анализ структуры этого разбиения, выявление областей в пространстве параметров с характерными типами предельных множеств. Практически это дает возможность построения бифуркационных диаграмм, поясняющих механизмы перестроек режимов движения в фазовом пространстве динамической системы при вариации ее параметров. Совокупность этих вопросов составляет предмет современной качественной теории динамических систем, которая естественным образом включает в себя теорию устойчивости и теорию бифуркаций [40-47].
3.2. Бифуркации состояний равновесия
Бифуркация коразмерности 1 - двукратное равновесие. Рассмотрим динамическую систему, описываемую одним дифференциальным уравнением 1-го порядка на прямой х:
x'F(x,?). (3.1)
Пусть X0Oi) есть грубое состояние равновесия, т.е. $00 Ф 0, где $(д) ¦ = FtAx0, M)- Модельным уравнением, описывающим динамику вблизи особой точки, в данном случае будет линеаризованное уравнение (3.1):
V = JV. (3.2)
Из решения V ~>'0exp(sr) видно, что устойчивость х° определяется знаком собственного числа $, т.е. знаком производной F^ Qi). При некоторых значениях параметров собственное число s в положении равновесия может обратиться в нуль:
s(M) = F'x(x°, М) = 0. (3.3)
Предположим, что вторая производная при этом отлична от нуля:
а(м) = Ґх'х(х°.М)/2Ф0. (3.4)
Тогда есть двукратный корень исходного уравнения (3.1). Модельная
39 система для данной бифуркации будет у = bi(?) + а(р)у2,
(3.5)
где b і - некоторый параметр.
Пусть, для определенности, а > 0. Тогда при <0в системе (3.5) существуют два положения равновесия (устойчивое и неустойчивое). При />і=0 они сливаются в одно, и при >0 равновесия исчезают. Если изобразить многообразие F(x, р) = 0 в комбинированном пространстве параметров и фазовой координаты (рис. 3.1), то при его проецировании
Рис. 3.1. Особенность типа складки при седио-уэловой бифуркации состояния равновесия
на пространство параметров имеется одна особенность типа складка 148, 49]. Бифуркация "двукратное равновесие" имеет коразмерность 1, так как выделяется единственным бифуркационным условием (3.3). В приложениях эта бифуркация встречается довольно часто и называется также бифуркацией срыва равновесия или седло-узловой бифуркацией.
Бифуркация коразмерности 2 — трехкратное равновесие. Изменим значения параметров системы (3.1), двигаясь в пространстве параметров вдоль линии I0 (см. рис. 3.1), отвечающей бифуркационному условию (3.3). При некоторых значениях параметров возможно обращение в нуль величины а(р):
= К'х ?)l2 = 0, J(M) = F'x (х°, л) = 0. (3.6)
При этом третья производная F'x'xx(x°, р) Ф 0. В этом случае одновременно выполняются два бифуркационных условия (3.6). Реализуется бифуркация коразмерности 2; х° — трехкратный корень уравнения (3.1). Модельная система для данной бифуркации представляется в виде
y = bl +Ь2у+Ь(р)у3, Ь(р)Ф0. (3.7)
В системе (3.7) могут существовать либо одно, либо три грубых стационарных решения. На рис. 3.2 изображено многообразие бифуркации "трехкратное равновесие". Для значений параметров, лежащих в заштрихованной области внутри характерного треугольника (точка, к примеру. А), система имеет три стационарных решения. Одно из них х°. всегда неустойчиво, два других и - устойчивы. Вне этой области значений параметров существует только одно состояние равновесия. В точке В три состояния равновесия сливаются в одно устойчивое равновесие.
