Сложные колебания в простых системах: механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах - Анищенко В.С.
ISBN 5-02-014168-2
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
1.2. Кинематическая интерпретация системы дифференциальных уравнений
Рассмотрим динамические системы, моделируемые конечным числом обыкновенных дифференциальных уравнений. Применительно к таким системам в большей стенени сохранились представления и терминология, первоначально возникшие в механике. В рассматриваемом случае для определения динамической системы необходимо указать объект, допускающий описание состояния заданием величии Jc1, х2,..., х^ в некоторый момент времени t = г0. Величины X1 могут принимать произвольные значения, причем двум различным наборам величин {xt} и {jcJ} отвечают два строго разных состояния. Закон эволюции динамической системы во времени записывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений
JxiIdt = Xi = MxltX1.....*л'). /- 1.2.....N. (1.1)
Если рассматривать величины Xi, х2, . . . , Xn как координаты точки х в /У-мерном пространстве, то получается наглядное геометрическое представление состояния динамической системы в виде этой точки. Последнюю называют изображающей или представляющей, а чаще - фазовой точкой, а пространство состояний - фазовым пространством динамической системы. Изменению состояния системы во времени отвечает движение фазовой точки вдоль некоторой линии, которая называется фазовой траекторией. В фазовом пространстве системы уравнениями (1.1) определяется векторное поле скоростей, сопоставляющее каждой точке х выходящий из нее вектор скорости F(x), компоненты которого даются правыми частями уравнений (1.1):
l/l(*l,*2.....XN), f2(Xlr X2.....XN).....fN(X у, X2,.. . ,JCyv)]. (1.2)
Динамическая система (1.1), таким образом, может быть записана в векторной форме:
x = F(x), (1.3)
где F(X) - вектор-функция размерности N.
11 Может оказаться, что jV-мерное фазовое пространство динамической системы является евклидовым и наблюдается соответствие между всеми возможными состояниями системы и точками евклидова пространства Fvv.
Определенный класс возможных движений динамической системы описывается посредством векторного поля і» некотором инвариантном многообразии Vi, имеющем меньшую, чем N, размерность, т.е. на подмногообразии фазового пространства, удовлетворяющем следующему свойству: траектория, проходящая через точку х подмногообразия W, целиком лежит в W. Такие ситуации возникают при некоторой симметрии исходных уравнений задачи, в определенных режимах автоколебаний в диссипатив-ных системах, в консервативных системах и других особых случаях. В связи с этим необходимо уточнение взаимосвязи понятий числа степеней свободы и размерности фазового пространства динамической системы.
Под числом степеней свободы понимается наименьшее число независимых координат, необходимых и достаточных для однозначного определения состояния системы. Под координатами первоначально понимались именно пространственные переменные, характеризующие взаиморасположение тел или объектов. В то же время для однозначного решения соответствующих уравнений движения необходимо, помимо координат, задать соответствующие начальные значения импульсов или скоростей. В связи с этим система с п степенями свободы характеризуется фазовым пространством размерности в два раза большей (N » 2п). Эта терминология общепринята в статистической механике.
U. Классификация динамических систем
Если динамическая система задана уравнением (1.3), то постулируется, что каждому x(t0) в фазовом пространстве ставится в соответствие то единственное состояние лг(?) (t > 10), куда за время t - г0 переместится фазовая точка, движущаяся в соответствии с уравнением (13). В операторной форме (1.3) можно записать в виде
*0) = Т, X(Z0), (1.4)
где Tr - оператор отображении фазового пространства на себя. Отображение T для автономных систем образует одною раметрическую группу диффеоморфизмов фазового многообразия я IV v, обладающую свойством
Т,Т, = Tfti. t> 0, *>0. (1.5)
Динамические системы можно классифицировать в зависимости от вида оператор« отображения и структуры фазового пространства. Операторы отображения классифицируюі'ся в соответствии с их снойствами и по форме задания. Если оператор обладает свойством суперпозиции, то он называется линейным. Если оператор нелинейный, то и соответствующая динамическая система называется нелинейной. Различают непрерывные и дискретные операторы и соответственно системы с непрерывным и дискрет-ным временам. Системы, для которых отоб|>аженце x(t) с помощью оператора T может быть определено для любых t > /о ('»прерывно во времени) , называют также ію/.жими по аналогии со стационарным течением
12 жидкости. Если оператор отображения определен на дискретном множестве значений времени, то соответствующие динамические системы называют каскадами или системами с дискретным временем.
Способы задания оператора отображения T также могут различаться. Оператор T можно задать в виде дифференциального или интегрального преобразования, в виде матрицы или таблицы, в виде графика или функции и і.д.
В зависимости от того, какой ряд значений могут принимать фазовые координаты, определяющие состояние системы, различают непрерывное и дискретное фазовые пространства.
