Групповые свойства уравнений упругости и пластичности. Том 2 - Аннин Б.Д.
Скачать (прямая ссылка):
V - /(g) sin t] - g(g) cos tj, w = Mg),
n
00103
* Б- Д. Аннин, в. О. Бытев, С. И. Сенатов
БИБЛИО!1ЛА КАЗАНСКОГО
I"
Таблица i.
Подал геб> ра Ранг Искомые функции Невависнмые переменные
"1.1 3 "ф> "z ге-0(Р, г<Гаф, aT(r)"
01,2 3 "г* *V И* -ф -Т, Г, Z
01,3 ' 3 wr" т - сир, г, <р - а
01.4 3 И, 17, U7 г/т, у/т, z/t
01.5 3 и, 17, W г, у, г
(r)М 3 и, 17, W Т - аг, г, у
02,1 2 иг> "ф* К" Ге-"Ф *.-<№
02,2 2 "Г" "ф> "* г, ф -"
02,3 2 U, V, W г, у
(r)2,4 2 и, 17, W г/z, ylz
02,5 . 2 **Г" "z r/т, г/т
02,в . 2' И, V, U7, г- у
т - ссх ' т - аг
02.7 2 "г" V И* j.e-7.4>j (т ,- yz)"-
02.8 2 U, 17, W т - аг, у
02,9 2 "Г" V и* г, т - аг - ф
, 03,1 1 "Г. V "а ге-"Ф
03,2 1 "г" V ка г/г
03,3 1 U, Г, W у/г
03,4 1 u,v, w -
03,& 1 (т - аг)/г
03,6 1 И, г, то (т - аг)/у
' 03,7 1 и, 17, W т - аг
03,8 1 /V Л Л ц, V, W .г 1 ?=г- Ч = "Ьг (а=И=0)
03,9 ' 1 Л Л, Л Щ V, W 1 = т - аг, rj = г;
03,1О 1 Л >* U, V, 10 1 = г, Т1 = т
i a?, a* - компоненты., вектора смещены в цилиндрической системе
координат, а, - произвольные постоянные.
2°. Рассмотрим решения ранга 1, т. е. решения;- зависящие от одной
переменной [95]. - 4
Решение, инвариантное относительно подалгебры в3, i (см. табл. 2),
следует искать в виде
Иг = /(?),. Щ =* g(?), и* = М?), | = г exp (-аф), (2.2)
где а - произвольная постоянная. Подставляя выражение (2.2) в уравнение
Ляме в цилиндрической системе координат (0.4), получим следующую систему
обыкновенных уравнений относительно функций /(?), g(?), h(?):
611 + р(1 + a2)J (1 /" + f) + (1 + р)/ - agg" + 2"pgg'= 0,
(2.3)
|[a2 + pa + a2)] (%g" + g') - $g - alT ~ 2a(l + p)|/' = 0, gfc'+fc'- 0.
Здесь штрих означает производную по Решая эту систему,
находим \
иг = (Ci|" + c2g~") cos (ato ln?) + (c3|" + c,,g~") sin (aa> In ?), (2.4)
щ = (cBg" + ceg~*) cos ("coin g) + (c7g" + c,|"*) sin (aa> In ?),
U,' = Ce In I, to BB (1 + Ot2)-1.'
Здесь постоянная ce равна нулю или 1; восемь постоянных Ci, с2, ..., се
связаны четырьмя линейными соотношениями, которые следуют из (2.3) и
(2.4) (если принять во внимание линейную ¦ независимость функций cos (ao
In ?), • |±e sin (ato In |)). Это решение обладает тем свойством, что на
цилиндрической поверхности г = | ехр (аф) (? - постоянная, z - любое)
значения иг, и", и* постоянны. Оно может быть использовано для
определения напряженно-деформированного состояния в цилиндре, сечение
которого представляет четырехугольник, ограниченный логарифмическими
спиралями. При а = 0 с4 - с* линейно независимы. '
Для подалгебры в3,2 ищем решение в виде (2.2), нет \ -rtz. Это решение
таково:
Щ = -Щг, и" = + z2)1/2 + °2Г~"
81? ' (2>5) ttz= -- 2(1 + Р)т|>, ^ = ф + гф,
Ф = с, [(г2 + а2)1* - Z In Z+ (r2+-2)1/2] + c2z In г,
r i.i+V.+ ^ , ca 1nr ¦ф - c3 In r + 2 ^ ^ pj In r.
Здесь clt c2, с*, at, о" - произвольные постоянные. При at = Oj = 0
Решение (2.5) - это решение Буссинеска [64].
У *
Для подалгебры 03, 3 решение имеет вид
u = f(y/x), v = g(y/x), w = h(yfx). (2..'
Это стационарное автомодельное решение.
Для подалгебры 0St 4 решение таково:
и = /(р), v = g(.y), w - h{.y). (2.r
Оно зависит от одной пространственной координаты.
Для подалгебры 0", 4 решение таково:
u,=>/(g), n* = g(g), в* = h(p, g.= (T -az)/r. (2.1
Подставляя.(2.8) в (0.4), найдем
/(g) = c,(g2 + а* - (1 + р)-1)172 + c*g + c3am(g),
g(|) = a.| + M^, (2.L
fc(g) - ac, In [g + (g2 + a2 - (1 + p)-')t/2J +
+ c3ln[g+(g2 + a2-r1)1/aJ,
m (g) = n (g) =
если Ра2У= 1,
"ч
l/2g, если Р"а - 1,
J(?2 + a2 - P-1)1/2, если Pa2 =f= 1,
1 g~\ если pa2'= 1.
Здесь Oj, a*, ct, c2, c3 - произвольные йостоянные. Построенно решение
имеет особенность при т = 0, которую можно драктовцт как наличие на оси z
некоторого возмущения.
Для подалгебры 03, е решение имеет вид
u^cMW + cMV, v = CaF(g) + CjG(g), w - cF(g), (2.1С g = (т -аж)/у, с = 0,
1; а, с3, с2 - произвольные постоянные;
G (g) = - In ~ -PHI?'-1
F(l) =
(1 + Р) I + (1 + Р) в -1 g-1, ' если pa2 = 1,
arctg[g/(a2 -р-1)1/г], если ра2>1,
Для подалгебры 03,7 решение имеет вид
и = /(т - скс), v=g(r - ax), w = h(x - ax). (2.41
Это плоская волна.
Для подалгебры 03,8 решение таково:
u = ci cos (a-1 In p) + c2 cos (a-1 In q) + c3 sin (a-1 In p) +
.+ с*вш(сГ*1пд),
20
v = ct sin (a-1 In p) + c2 sin (a-1 In q) - cg cos (a-1 In p) -
- c* cos (a-1 In q), w = c5In ((z + (1 + (1 + p)1/2)),
Где p==z + tV[}, q = z - xVp, Ci -c5 - произвольные постоянные. Это
решение - суперпозиция плоской продольной волны, распространяющейся вдоль
оси z и плоских поперечных волн.
Решения, построенные на подалгебрах. в3,в и 6".",- это плоские волны.
% |
§ 3. НЕКОТОРЫЕ ДРУГИЕ РЕШЕНИЯ
1°. Используем представление (0.6), (0.7) для получения новых классов
решений уравнений теории упругости.
Потенциалы cp, (.к = 1, 2, 3) удовлетворяют волновому уравнению
C2d2a/df = д2а>/дх2 + д2а/ду2 + SWdz2. (3.1)
1
Если ввести новые переменные - it/C, %z = x, ?3 = у, ?4 - z' (i2 = - 1),
то уравнение (3.1) примет вид
№! + д^/дЦ +¦ д^/дЦ + д^/дЦ = о. (3.2)
