Групповые свойства уравнений упругости и пластичности. Том 2 - Аннин Б.Д.
Скачать (прямая ссылка):
(3.13), (3.15) следует система для определения Ui = ui(t,xt,x2,x3):
Fi(ui)dujdt - дщ/дхи G^uCtduJdt = dujdx2,
* H ^щ) дщ/dt -дщ/дх3.
Общим решением этой системы является функция ии определяемая неявно из
уравнения
t + F1(ut):rt + G1(u,);r2 + fft(Ht):r3 = P1(ii1), (3.18)
где Р,(щ)- произвольная дважды дифференцируемая функция. Аналогично
находим функции и2, и3:
t + F2(u2)fc, + G2(u2)x2 + Н2(п2)х3 - Ръ(и2), ¦ ^ ^
t + F3(u3)Xi + G3(u3)x2 + Н3(и3)х3г~ P3{u3).
Здесь P2(u2), Р3(н3) - произвольные дважды дифференцируемые - функции.
24
' аким образом, функции ut = u((f, (r)t, х2, х3) определяются неявно из
(3.18) и (3.19). Производные по времени от этих функций находятся из
продифференцированных по t равенств (3.18) и (3.19), они должны
удовлетворять уравнениям (3.16), что накладывает дополнительные
ограничения на функции /,-, gt, ht, Р{.
Рассмотрим случай, когда Ft, Н{, G{ (i = 1, 2, 3) суть постоянные,
которые будем обозначать теми же буквами, снабженными звездочкой сверху.
Из (3.18) и (3.19) следует
Щ = Pi(t + Ftx1 + G*xz + Я*ж3),
?
где Pi-произвольные дважды дифференцируемые функции,, обратные к Р<(и4).
Вычисляя производные по времени dpjdt и подставляя их в (3.16); получим
Atjdpjdt = 0 (i, 7 = 1, 2,3).
Эта система линейных однородных уравнений относительно1 dpjdt имеет, в
частности, ненулевое решение, если
F* = G* = Я ? = ± (р/(К + 2[х))1/2, Ft^Ft =G\ = С*=Я*-Я*= O'
или если G* = ± (р/(Я,+2р))1/2,
= = Я* = Я* = Ht = 0, = Gt - ± (р/р)1/2.
Заметим, что решение (3.18), (3.19) можно получить аналогично1 п. 3°,
приняв за новые независимые переменные ии и?, иа, а за искомые функции
ж,, х& хг.
5°. Найдем функциональногинвариантные решения уравнений анизотропной
теорий упругости. Закон Гука для анизотропного тела имеет вид (EijU -
упругие постоянные)
, йу Fijki(duj dxi 4- dizjdxj)!2, ^ 20)*
Ецы = Ёт} ~ Ejihi = Eijik. li, /, к, I = 1, 2, 3).
Подртавляя (3.20) в уравнение движения (0.1), будем иметь
Ет(дгик/дх$Х; + d^uJdxJdxJl/Z = pd2ujdf. (3.21)
Система (3.21) относительно u, = ujt, хи х2, xs) эквивалентна системе
Etjuidqu/dXj + dqth/dxj)/ 2 = pdujdt, (3.22)
dqij/dt = dujdxu (3.23)
dqJdXj^dqJdXi, (3 24>
i, /, к, I - 1, 2, 3.
Здесь искомыми функциями, зависящими от t, ж" х2, хг, являются девять
функций qtj (г, ) = 1, 2, 3) и "\, ц2, Щ. Система (3.22) допускает
операторы
= . (3'25>
25*
Полный набор инвариантов группы, соответствующей (3.25) таков:.
?", Щ (i, j = 1, 2, 3).
Ищем частично инвариантное решение системы (3.22) в виде
qtj = fij(iii) (i, j = 1, 2, 3) (no i не суммировать). (3.26.
"г
"Здесь искомыми являются функции /"== /"(">), п( = n4(f, х" хг, ars) В
дальнейшем будем обозначать большими буквами производные "ФУНКЦИЙ ffj по
щ:
dftj(Ui)/dUi = Ft} tno i не 'суммировать). (3.27)
Из (3.23), (3:26), (3.27) находим
¦ dq'u/dXj = FtaduJdXj = FKldqh^/dt =
, . = FfaFbjduJdt ¦ (по к не суммировать). (3.28)
Подставляя (3.28) в (3.22), получим систему трех линейных однородных
уравнений относительно dujdt:
A tydujdt pdujdt, (3:29.
AiK^EijbiFuFu (по Л не суммировать). (3.30!
'Условие существования ненулевого1 решения системы . (3.29) представляет
соотношение, связывающее функции Ftj:
detlL4# - рб"11 = 0. ¦* (3.31)
Функции u*(f, Xi, ха, хг) определяются из системы.
3ujdx} = Fajdujdt (по й не суммировать); (3.32!
¦Решая систему (3.32), находим, что и,, в2, и, определяются иг .
соотношений
/ + FuiuJXi + Fia(Ui)Xa + Fia(.Ui)Xa = РЛщ),
t + FaiitQx, + Fza(u2)x2 + F2i(u2)ts = P2(U2), ' (3.33
t + FaS.Ua)x, + Faz(u,)Xa + F$i{Ua)Xa = Ра("з).
Здесь Pt, -Pa, Pa - произвольные дважды дифференцируемые ¦. функции
своизр аргументов. Производные по времени от функциг и,, в2- щ,
определяемые из продифференцированных no t ра-
венств (3.33), должны удовлетворять уравнениям (3.29), что накладывает
дополнительные ограничения на выбор функций /", Р< В частности,, когда
А,, = рб", i, /*=¦ 1, 2, 3; б" - символ Кронекера необходимость
удовлетворять соотношениям (3.29) отпадает.
В заключение отметим, что в [89] найдена группа, • допускав мая
уравнениями Ляме в нелиевском смысле. Другие уравнения описывающие
упругие процессы, также изучались с групповое . точки зрения. Так, в [721
найдена группа, допускаемая уравне ниями нелинейной теории упругости. В
статье [761 изучались . групповые свойства плоской неоднородной теории
упругости i решена ^задача групповой классификации этих уравнений по ко
26
ъффициентам Ляце. Б работе [96] методами группового анализа исследованы
уравнения движении упругой пластины типа Тимошенко, там же показано
применение группового "анализа Для конструирования приближенных
уравнений. В [99] решена задана групповой классификации- для одномерного
уравнения нелинейной "теории упругости. В [91J изучались групповые
свойства уравнений специальной нелинейной теории упругости.
Глава 3
ГРУППОВЫЕ СВОЙСТВА _ ' ".
КВАЗИСТАЦИОНАРНЫХ УРАВНЕНИЙ МИЗЕСА
Эта глава Посвящена построению решений^ описывающих квазистационарные,-
