Групповые свойства уравнений упругости и пластичности. Том 2 - Аннин Б.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Теперь из соотношений
v* = tfly) (i == 1, ..т, - б)
определяем функции в,, ..вт_в через х, у, v и uf - цт~е+а (о = 1, б).
Подстановка этих выражений в систему дифференциальных уравнений (3.1)
приводит к системе дифференциальных уравнений относительно т - б функций
Vх от р независимых переменных ..., ур и системе уравнений
относительно 6 функций в?(r) от п переменных. Полученные
уравнения описывают
частично инвариантные решения ранга р и дефекта 6. К частично
инвариантным решениям относятся, например, простые и двойные волны,
которые широко применяются в. механике.
§ 4. ОПТИМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ПОДАЛГЕБР
Определение. Две подгруппы Я и Я' группы Gr назовем подобными
(сопряженными), если существует внутренний автоморфизм А группы, Сг
такой, что А{Н) - Я'.
11
Пусть И -я И' подобны, тогда для любого Я-решения в - ц>(х: существует
преобразование T^Gr такое, что Tq(x) = ф(ж), где и = ф(ж) есть
инвариантное Я'-решение. Поэтому для построение всех существенно
различных инвариантных решений необходим^ построить систему неподобных
подалгебр (оптимальную систему подалгебр).
Пример 9. Рассмотрим группу движений в пространстве Яг
Y ____ 5 у 5 у д д jb i\
• ёу ' 3 Их ~~ Х~ду' ' "
Пусть А - автоморфизм, соответствующий оператору К, тогда автоморфизм А
действует на оператор L по формуле [45]
A (L) = L + а [К, L] + ^ [К, [К, L]] + ...
... +-?[Я,[Я, ..'.,[A,Z,] ...]]+ ....
Автоморфизм, соответствующий оператору Xi, действует на операторы (4.1)
по формулам
А1(Х1)=Х1, АЛХ2)='Хг, А1(Х3) = Х3-аХ2.
Автоморфизм, соответствующий оператору Xi, действует на операторы (4.1)
по формулам
А2(Х1)=Х1, А2(Х2)=Х2, А2(Х8)=Х8 + ЬХ.
Автоморфизм, соответствующий оператору А3, действует на операторы (4.1)
по формулам
Ф
A3(Xi) = X, cos а + Х2 sin a, AS(X2) = -Х4 sin а + Х2 cos а,. А8(Х8)=Х8.
Рассмотрим оператор
Х = с1Х1 + с2Х2 + с8Х8. (4.2)
Если с8 т^О, то
А ,А 3Х == с,Х, 4 С2Х2 "Ь СаХ8 с3аХ2 с8ЬХ,.
Полагая a = cjc3, Ъ = -cjj;3, получим, что приГ с3 ^ 0 оператор
(4.2) подобен оператору Х8. Если с8 = 0, то нетрудно покаватьг что
оператор (4.2) подобен оператору Х2.
Окончательно получаем, что оптимальная система одномерных подалгебр 0,
имеет вид
Х" Х8.
Другие способы построения оптимальных систем можно найти в работах [52,
53, 75, 95].
Замечание. Вообще говоря, необходимо строить оптимальные системы
двумерных нодалгебр 02, трехмерных подалгебр 0"
12
a f. Д- в дальнейшем изложении в основном будем искать инвариантные
решения построения только на одномерных подалгебрах. При необходимости мы
будем действовать следующим обравом: для системы дифференциальных
уравнений S строим оптимальную систему в,, пользуясь @i, выписываем
системы JS/H, для которых шцем допускаемые группы G, а для найденных
групп снова строим оптимальные системы, и т. д.
§ 5. ГРУППОВАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ
Часто многие уравнения механики содержат произвольные, варанее не-
фиксированные параметры или функции, которые следует, как правило,
определять опытрым путем, в грушки -вом анализе они называются
произвольным элементом. Например, это может быть показатель адиабаты в
уравнениях газовой динамики или закон текучести в теории пластичности и
т. п. Оказывается, методы группового анализа позволяют целенаправленно
выбирать аналитический вид таких функций, при этом требуется найти вид
произвольного элемента с тем, чтобы заданные уравнения допускали
максимально широкую группу. Такая задача разывается задачей групповой
классификации. Для уравнений теории пластичности она решалась в работах
[39-41, 70, 71, 99].
Необходимо отметить, что вадача групповой классификации всегда решается с
точностью до преобразований эквивалентности, которые действуют на
произвольный элемент, сохраняя структуру самого дифференциального
уравнения.
Алгоритм решения задачи групповой классификации состоит из двух частей:
сначала ищется основная группа G0, при этом на. произвольный элемент не
накладывается никаких ограничений. Затем перечисляются все специализации,
при которых группа G, допускаемая системой дифференциальных уравнений,
становится шире основной группы G0.
Глава 2
ГРУППОВЫЕ СВОЙСТВА УРАВНЕНИЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
Пусть t - время, хи х2, х3 - декартова система координат; в,; щ, в* -
компоненты вектора смещения; щ, v2, v2- компоненты вектора скорости, о",
е" (?, / = 1, 2, 3) - компоненты тензоров напряжений и деформаций
соответственно; к, |х - постоянные Ляме, р - плотность.
13
-Динамические уравнения линейной теории упругости имеют вид (р = const)
дуг даг1 да12 до13
" Я* Я* Я*. "Г я*. "
(0.1>
dt дхг дх^ йжд
ди ди 1 / йи, ди \.
У1 " йГ' 8и " йж^' ?l2 ^ "2 ^йж^ j" й?^ ]*
Он 2=3 Х(Ец "^7 (r)22 "Г ваз) "Ь 2рвц,
1
°ia = 2ре12, о* - 'о
о<-6
1
Символ ^ > означает круговую перестановку индексов.
3<-2
Уравнения (0.1) дополняются начальными и граничными ус-, ловиями
Щ |t=o *== Mj ((r)i, ^2' ^s)) Hi |t=o ~ Hj ((r)i, а:2, х3), (а^, х2, х3) е7 +
5" вцП] - У, (ij ^2* жз) на 5у, (0.2)
щ = в* (f, arl5 я2, а:3) на Su,
