Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Аннин Б.Д. -> "Групповые свойства уравнений упругости и пластичности. Том 2" -> 2

Групповые свойства уравнений упругости и пластичности. Том 2 - Аннин Б.Д.

Аннин Б.Д., Бытев В.О., Сенашов С.И. Групповые свойства уравнений упругости и пластичности. Том 2 — М.: Наука, 1985. — 143 c.
Скачать (прямая ссылка): grupoviesvoystvauravneniyuprugosti1985.djvu
Предыдущая << 1 < 2 > 3 4 5 6 7 8 .. 44 >> Следующая

L".
Для операторов (1.5) операция коммутации определяется по ' формулам
= (xa?i-xPii)J: (1.6)
ikl
u По повторяющимся индексам производится суммирование.
5
Если Xt, Xr есть базис алгебры Ли L,, тогда [Х{, Xj] = CfjXa (a, i, /,=
1);
постоянные Су называются структурными константами,. Знание структурных
констант позволяет, с точностью до изоморфйзма, восстанавливать .алгебру
Ли Ь*.
Для операторов Ха, Хь из примера 1 имеем [Х", Жь] = -Хь. Операторы Ха, Хъ
порождают алгебру Ли L2, которая соответствует группе Gs.
Алгебра Ли - объект гораздо более простой по сравнению с локальной
группой Ли, поэтому в дальнейшем мы будем иметь дело в основном с
алгебрами'Ли. Зная алгебру Ли, при необходимости всегда можно
восстановить группу Ли, для- этого, надо решить систему обыкновенных
дифференциальных уравнений
- Ei ((r) )> |а=0 " (r)i*
д
Пример 3. Для оператора X =* жх сцстема уравнений Ли
d-Г-; / г I ' г "
имеет вид == xit хг |о=0 == ж,. Решая ее, получаем ж4 = е ж{.
Замечено, что уравнения механики, как правило, допускают следующие
преобразования.
1. Перенос по времени ?' = t + о, ему соответствует оператор
V д
переноса А0 = .
2. Переносы по координатам х\ - х-г + а-г, операторы Xt = ¦?-(i = 1,2,3).
3. Преобразования Галилея: жх - ж{ + tab щ = щ + аи операторы Yi = tgj- +
~ (? = 1,2,3).
г г
4. Вращение вокруг оси х,:
х[ = ж, cosya + жа sin a, и[ - и, cos a + и" sin a,
' . * (1-7)
жа = - жх sin a 4- жа cos а, щ = - ых sin a + u2 cos a,
оператор X = x9 - жх + u2 ^ - "х . Вращение. вокруг i a i а
других осей получается из (1.7) круговой перестановкой индексов.
5. Растяжение t' =еЧ, х\ = eaXi, оператор X = t~ +
В каждом из рассмотренных случаев указаны только координаты преобразуемых
величин, те величины, которые явно не указаны, преобразуются
тождественно..
2°. Для работы с алгебрами Ли в дальнейшем понадобятся следующие
определения.
6
Определение.^ Векторное подпространство N ^ L называется подалгеброй JIu
L, если для любых и, v^N следует, что lu, vl&N.
- Пусть Gr - группа Ли и Lr - соответствующая ей алгебра Ли, тогда каждой
подгруппе группы Gr соответствует некоторая подалгебра из алгебры Ли Ьг
.и наоборот. Такое соответствие характерно и для более специальных
классов подалгебр и подгрупп.
Определение. Подалгебра Zc? называется центром алгебры Ли L, если для
любых элементов u&Z, v^L следует 1в, п] ==0.
Определение. Подалгебра IczL называется идеалом алгебры Ли L, если для
любых usL, ve/ следует [в, d]s/.
§ 2. ИНВАРИАНТЫ И ТЕОРИЯ ПРОДОЛЖЕНИЯ
Определение. Не тождественно постоянная функция Нх) называется
инвариантом группы G,, если для любого преобразования группы Т'а GT
следует TJ = I.
Пример 4. Для группы растяжений х' - ах, у' = ау в пространстве В*
инварианты -имеют вид х/у => const.
Теорема. Для инвариантности функции I:R*-*-R1 относи-
, .Q
телъно группы Gr с базисными операторами Ха = - (а =>
X
= 1, ..., г) необходимо и достаточно выполнение условий
= 0 (а = 1, ..., г).
Определение. Многообразие М<=¦ R1* называется инвари-антным многообразием
группы GT, если для любых х^М и Тае Gr следует Тах е?Л/.
Пусть многообразие М задано условием
M:W°{x)~0 (о-1, ..., s),
где 4го - функции из класса С* такие, что общий ранг [53] (дЧг°/дх<)\ M-
s.
Теорема. Многообразие М является инвариантным отцоси-телъно группы Gr
тогда и только тогда, когда выполнены тождества'
ХаЧ/а(х) I м = 0 (а = 1, ..., г;- о - 1, ..., s).
Пример 5. Рассмотрим однопараметрическую группу вра-- * щений на
плоскости ху:
х' => х cos t + y sin t, у'. = -x sin t +у cos t.
d &
Этой группе соответствует оператор X = у - Х~Щ~ Многообразие т? + уг - 1
инвариантно относительно группы вращений.
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений первого порядка
S:Fa{x, и, р)= 0 (а = 1, ..., s),. . (2.1)
7'
где х = (х" хя), и = (и" nm), р = (/>}, Систем!
(2.1) есть система дифференциальных уравнений с тп искомыми
ди•
функциями от п независимых переменных, р) - Систему уравнении (2.1) будем
рассматривать как многообразие в пространстве R 1 (х, и, р). В этом
пространстве х, и, р - независимые переменные, Nl = n + m + nm. Такое
пространство называется
продолженным пространством пространства R 0 (х, и), N0 - т + п. Бели
многообразие М с i?n+m инвариантно относительно группы G>, то
продолженное многообразие М czR 1 инвариантно относительно продолженной
группы б>, которую нетрудно восстановить по группе GT.
Пусть группа Gr порождается операторами Ха, тогда &г порождается
операторами Ха:
%* = *" + & А* (2.3)
dPi
где |", Г)а - функции ТОЛЬКО X, и,
& = Д|(чй)-Рр0"(Й).-
д , "к д duk
* д д
Пример 6. Продолжим оператор X - у - - х-^ в прост-
. r Q Q
ранстве RHx, у, и), где и - и(х, у). Имеем X = X + рх- - Pyj^
ди _______ ди
Рх ~ ~д!' Ру = ~д^-
Определение. Будем говорить, что система уравнений
(2.1) инвариантна относительно группы Gr, если система уравнений (2.1)
инвариантна относительно продолженной группы G,. Это определение дает
способ построения группы, допускаемой системой дифференциальных уравнений
Предыдущая << 1 < 2 > 3 4 5 6 7 8 .. 44 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed