Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Аннин Б.Д. -> "Групповые свойства уравнений упругости и пластичности. Том 2" -> 5

Групповые свойства уравнений упругости и пластичности. Том 2 - Аннин Б.Д.

Аннин Б.Д., Бытев В.О., Сенашов С.И. Групповые свойства уравнений упругости и пластичности. Том 2 — М.: Наука, 1985. — 143 c.
Скачать (прямая ссылка): grupoviesvoystvauravneniyuprugosti1985.djvu
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 < 5 > 6 7 8 9 10 11 .. 44 >> Следующая

5Ы + ST =s.
Здесь S - поверхность тела V, величины с ноликом- и звездочкой считаются
заданными. Исключая скорости и напряжения, получим из (0.1) уравнения
Ляме
2"* ___у
р = (к + р) grad div и 4- рАв, - (0.3)
Д =з - + - +
йж(r) йж(r) йж|
В цилиндрической системе координат г = (ж? + х|)1/2, ф = = arctg (x2/xi),
z = xз, в == (вг, в,, bz) уравнения Ляме имеют вид
. й/ 2р Г"(r)г й . .1 02и,
( + 2р) вг г [йф dz (ro)<p)J Р gt2:
X + 2\l dj \д<йг d(*z\ д\
г йф -Р [ dz ' dr J Р gt2 '
(0.4)
1 (1 диг йи^Х ! /-й"г ЙП \
. 2 Vr йф dz )' v = 2 \ dz дг)'
1 Г1 д / \ 1 вкг1
"г 2 [ г dr г йф]*
14
1ри этом компоненты тензора деформаций и напряжений равны
виг . 1 ви<р , ит диг
"г - -ЯГ. в* - - 0^- + -, 8* -
^ 2 \ вг г + г д<р )'
л (ди ди,\ 4 ( л ди, duJ\
8,2 = l('0T + ~dFJ' гф*=т(т~д^ + ~дГ)' (°'5>
Or= Я/ "Ь 2{хбгт Оф == Я/ + 2|i8f? oz ~ Я/ "Ь 2j|X?z"
Or(r) " 2|ябгф, Or*= 2|xerz, Oq>z = 2jx6<pz.
Пусть фушщий ф^фС*, а:4, я2, я3), фз^фЛ*, ar2, #3) (1" ==* 1, 2, 3) суть
решения следующих волновых уравнений: ~
(1-1,2,3). <0.в>
оа = р/(Я + 2р), Ь2 = р/р.
Тогда решением уравнений Ляме (0.3), как нетрудно убедиться,
будет
-" ¦ ^ ^ ^
и - grad <p+rot ф, ф = С-фч, ф2, ф")г (0.7)
Отыскивая точные решения волновых уравнений (0.6), получим
по формуле (6.7) точное решение уравнений Ляме (0.3).
§ 1. ГРУППОВЫЕ СВОЙСТВА ПРОСТРАНСТВЕННЫХ УРАВНЕНИЙ ЛЯМЕ
Для исследования групповых свойств уравнений Ляме1 запишем систему (0.3)
в виде (Z - характерный размер)
•^4 - graddivu + рДи; (1*1)-.
дх
Я* = xjl, т = t (Я+ р)1/2р_1/21~\ Р=р/(Я +. р), щ= Щ (т, X*, X*, х*).
В дальнейшем звездочки у координат опущены. Оператор, допускаемый
системой (1.1), ищем ввиде
V ? ^ I t ^ I ^ *
~^~дх + + T,i'0tt>
гДе &" Ё>, "Hi (i = 1, 2, 3) - искомые функции от т, х{, ц< ("="
= 1, 2, 3). Продолжим оператор X на вторые производные. Затем из критерия
инвариантности многообразия, задаваемого уравнениями (1.1) в продолженном
пространстве, получим систему определяющих уравнений. Решая эту систему,
находим [943 сле-
15
Таблица 1
1 ей а <о { 1 " "в a "c
§3 вд 52 в> и к " I Базис подалгебры h \ It f a> P-t 4 a I Базис
подалгебры
"1 в1.| аЯ + Zs l04 04.l Хв" x" R, Zj
01,2 X0+Za 1 ' 04,2 Xo, Xlt X" R ¦
01,3 aX0+X,+ Za 04,3 Xq, Xj, X" aR -)- Za
0м Л (r)4.4 X0, Xlt X" Xa+Za
01,5 Хв 04.5 Xo, Xlt X,, Xs
\ 01,6 aX0 + X, 04,6 Xi, x2, yXo.+ x"
в, aR -f- Za
02,1 02,2 Xq, aR -f- Za X0, X*+Za 04.7 Xj, X2, aX0 + X"
X"+Zs
02,3 X", X3 04,8 Xj, X,, Л, Zs
02,4 X0, R 04,9 aX,+ Xlt X2, X" R
02,5 R, Za 04,1O JZit Z,, Za, R
(r)2,6 a X0 + Xs, R 04,11 Zj> Z2, Zs" X0
02,7 a X0 -f Xj, yR -|- Za
**
(r)2,8 X2, aX0 -|- Xj в. 0M X0, X2, X" Ха, R
02,9 aX0 + X3, X0 +- Za 05,2 Xo, Xlt X2, Л, Za
05,3 Xo, Xj, Xs, Xs, аЛ + Z*.
03,1
X0, X2, aR -f- Za 05.4 Xj, X" aXo+Xs,
03,2 Xq, R, Za Л, Zs
03,3 X0, Xt, R 05,5 Zj, Zj, Zs, X0, Л
03,4 Y Y Y
л0"л1" AS '*
03,5 "Хв -f X,, Л, Za в. 06,i Xo, Xj, X" X" Л, Zs
03,6 aX0 + Xlt Xs, R 06,2 Zj, Z,, Za, Xj, X2, Xs
0*в _ aX0 + Xx, X2, X2
3,7
03,8 -Xu Хг, aR + Za e7 07,1 Zj, Z2, Za, X0, Xj, X2, X,
03.9 03.10 Xlt X2,aX0+X* + Za Xl X2, Xo+Za 07,2 Zj, Z,, Za,
Rf Xj, V V
03,11 Zi, Z2, Za a2, a8
дующие операторы, допускаемые уравнениями Ляме (1.1):
" 8 , 8 , 8 " = М1 ^ + ма 5и2 + "80^' ю
а ' а.
а , 0 в .. оч
И,101Г1 + 1Р^ + И7"^' М
~ 4 О <7. -
1 _ *2 ЙяГ
8 0*.
0 у 0_
0*2* А3 -
0 а + щЩ "8 0^*
(1.3)
16
Здесь ivi, w2, w3 - произвольное решение уравнений (1.1).
Группа Ли оказалась бесконечномерной с нормальным делителем, порожденным
операторами Р0, Pv, что является следствием линейности и однородности
системы (1.1). Фактор-группа по этому нормальному делителю порождается
восемью операторами
(1.3). Будем ее в дальнейшем обозначать Gs, а соответствующую подалгебру
Ls. Операторы (1.3) соответствуют следующим конечным преобразованиям, при
которых система (1.1) -сохраняет свой вид (выписываются только фактически
преобразуемые величины):
а) оператор переноса по времени Х0: т' = т + а (о - произвольная
постоянная);
б) оператор переноса по координате X,: = хх + Ь (Ь -
про-
извольная постоянная);
с) оператор растяжения R: т = 1т, хх = 1хг, х2 - 1х2, хъ = 1х3 U > О -
произвольная постоянная);
д) оператор Zs вращения вокруг оси ^3: ф' = ср + с (с - произвольная
постоянная); действительно, как нетрудно видеть, замена ф на ф + с не
меняет вид системы уравнений Ляме (0.4), записанной в цилиндрической
системе координат г -{xf + ж!)1/2, Ф = arctg (.Xz/xt), z=-xs. В этой,
системе оператор Z3 имеет вид
*з = 4г- • (1-4)
Оптимальные системы подалгебр Ьт порядка г => 1, 2, ..., 7 для ЬЙ указаны
в табл. 1, где а, к - произвольные постоянные.
§ 2. ИНВАРИАНТНЫЕ РЕШЕНИЯ
1°. Вид инвариантных решений рангов р_= 1, 2, 3 дан в табл. 2. При этом
введены следующие обозначения:
х = хи у = х2, z = xs, и = и" v = и2, w - щ,
г => (ж2 + у2)1'2, ф = arctg (у/ж), (2.1)
и = /(g) cos rj + g(g) sin t],
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 < 5 > 6 7 8 9 10 11 .. 44 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed