Групповые свойства уравнений упругости и пластичности. Том 2 - Аннин Б.Д.
Скачать (прямая ссылка):
8 a " a a
= .x8 8x 3 4 4" Uj 8u3 аи2*
8 .a a. ' a
z2 = ?3 8x1 Zx ежз + Mg aitj a"3'
8 a a -'a-
•^8 = *1 8xt *3 1 + Hi ам2 "a 8u^
-Оптимальная система одномерных подалгебр имеет вид •Х" N, Yu Tit X,±Z" M
+ aN,N+Yu Y,±TU
(1.6>
Zt + aN± Yt, Zt + aM+ $N, Xi+ aZt + M, Xi±Ti + аТг,
' Xi ± Yi + aTi, Xi±Ztzt Ти M+N + Ti, Z, ± У, + of",
X1 + aXa±TJ+'p7'" X" ± Z,.± Yi + aTu Zt + a(M+N)±Tl_
Здесь a, p- произвольные постоянные, различным, значениям а, р
соответствуют неподобные подалгебры, оператор S порождает центр алгебры
.Ли (1.5), это учтено при" построении системы (1.6). '
2°. В силу критерия инвариантности [52] инвариантные решения могут быть
построены только на следующих однопараметрических подгрухшах ив (116):
Xi, Xi±Zty N+aM, Zi + aN±Yt,
Zt + aM+0, Xt + aZt + M, X, ±Tt + aT2, ¦
XtdrYt + oTi, Xi ± Zi ± Tu M + N+Ti,
Zi±Yi + aTu Xi + aX2±Tx + ^Tt,
¦ ' Xi±Zi±Yi + aTi, Zi + a.{M+N)±Ti.
S 2. ИНВАРИАНТНЫЕ РЕШЕНИЯ
Укажем вид инвариантных решений, которые могут быть. ' построены на
подгруппах, указанных в п. 2. Бели решение тако-; го вида построено, то
приводится номер параграфа, где оно рассматривается..
1. X, (§ 9).
"1 = "1(#1, Ж"), Bj = U2(Zi, Zi), Ut=iUi(Zi, Zi), P = P(z 1, z2).
2. N+ccM ¦(§ 3). *
.. (a = 0) щ = iti(?, q), и2 = Uj(|, tj), щ = Uj(?, q), P = P(%, q)*
(agfeO) ur = z?%(1,q), Щ - *i'*/a (?" Л).
M8 - tfl'Vs (I, 4), P = P (S, TJ), I - Xj/Xj, TJ - Xi/Xj.
30
z<i =Ь Xt '(§ 4). '
Решение в цилиндрической системе координат имеет вид
о(г, ?), у(г, ?), и>(г, ?), Р(г, |), 1 = гТЛ0. -
4. + аЛГ ± Fi.
Решение в цилиндрической системе координат имеет вид:
(о?=0) 11^0 = #*], |), о = ф(т), |), йг*=$("], ?), Р(?, Т])т 6 = г/z, ч "
ге~"(r),
(а = 0) 0^8 = /^, z), о==о(г, г), и>*=ы?(г, г), Р = Р(г, г).
5. Fi.+ aflf+piV (§ 7 при a = р*=0).
Решение в цилиндрической системе координат .имеет вид:
(р^О) ' о = о(|, ч)""(r), >v = r(l, rj)e"(r), ip = ip(|, ч)с"(r),
Р = Р(|, Ч>, | = г/г, ¦ ц = ге-р(r).
(р = 0) о = u(r, z)e"(r), v = y(r, z)ee(r), u> - Mr, z)ee(r), Р = Р(г, г).-
6. + aZs + М (если ct = 0, то решение построено в § 9)..
Решение в цилиндрической системе координат имеет вид:
(оч^О) " = и(г, z -ав)еж, о = о(г, г - ав)е*,
w = wir,z - a0)e% P = P(r, z - а8),
(сс - 0) = ttj ((r)i, Zj) в , Uj = (Zj, Zj) e*8,
•Co
"8 = "3 (^i. жг) e 8,P = P (x" x4).
7. X.iF. + a^ (§ 6).
' "i*=aziX" + /i(x2, x2), Ог == ^FxjX* + /*(#2, a?")*
u8 - - -J- **df *i(r)a + /* (жа, a*)> P P ("а" *з)-
8. Xt ± yl + o2'1 (§ 5).
ut 4= Xi = /i(x2, X"), Ui "= OX,Xs + /2(x2, Х3^ .
Oj ¦= -ах,х2 +'Д(х8', X"), P = P(x2, x*). '
9. X^Z.iTV .. .
Решение в цилиндрической системе координат имеет вид '
о = о(г, 0 ± z), v =* у(г, .0 ± г) ± г0, w - w(r, 0-± z),
P = P(r, 0=fcz).
10. M+N+Tt.
" • ?
Bi - Х*в<6, Ч>. в*--x,Inx,+x,/(?t 4),
Bj - xalnai+x^l, ч), P*=P(|, ц), |*=x,/xa, ч = х,/х*.
11. ZiT. + T,.
- ' 31
Решение в цилиндрической системе координат имеет в* и "*¦ ±0 + u(r, z), и
=¦ "ХГ0+'н(г,'*), w = w(r,z), P = P(r, z).
12. X, + oX2±T2 + $Tt.
- ;fc хгха + Par^a + /2 (а*, x2 - axj, u2 = e/*(r)i +
+ fa (*з. (r)*i)" ^8 = i */2*1 + / ((r)8i (r)2 (r)(r)i)i (
P-Ptea, #2 -aarj.
13. Xt ±Zt± Уа + аГ".
Решение в цилиндрической системе координат имеет вид
и = в(г, ZT8), i7 = ±ar6 + /t(r; zTO),
ip:Fz = /2(r, z5F0)f P - P(r, zT0).
14. Z1 + a(if.+ tf)±Z,1.
Решение в цилиндрической системе координат имеет вид
(о = 0) в = и(г, z), 17±г0 = у(г, z), w = w(r, z), P = P(r, z), (a.^Oj и
= г/(?, 4), |7 = ±(r/a)lnr+iK|, tj), w = rw(\, t)), P = P(|, 4), | = r/z,
T) = 7^e. - '
§ 3. ПЛАСТИЧЕСКОЕ ТЕЧЕНИЕ КОНИЧЕСКИХ ТЕЛ
В этом параграфе будут строиться решения, инвариантные относительно
подгруппы (.N+аМУ, решения такого типа следует искать в виде
в, = г"в(0, ф), и" = г"у(0, ф), В" = Г"Ы7(0, ф), Р = Р(0, ф).
-- ' (3.1)
Решение вида (3.1) используется, как . правило, для описания либо
пластических течений конических тел -[251, лцбо напряженно-
деформированного состояния пластического, материала, сжатого ^ежду
коническими поверхностями [191.
Система уравнений (1.1)-(1.4) в сферической системе координат запишется в
виде
1
sine ~д^~ + ?Sr-s* - S<p + Sr6ct"e] -4r*
(3.2)
* + ~г[~зГ + Шв~д$* + <5e - SJ-cfg6 + SSrB] -ГЖ*
1 f dSrB
ТГ + - T[ . дв
dSr6 , 1 r as в
dr ' + r L 00
If 1 ... 1 ^
dr 1 r I 00 1 sin G - 0<p 1
ft-x-g. Se _A r / dv ("ёё + uj, Sq
32
,о , I to V , 1 ди\ oc , f i du , dw
= A ^17 r + 7?J' A[rie *p + dr ~ Ту
2S^ rsbib(sin 6ж -u,cos8 + -§*)•
+ 5* + S% + 2 (fi?e + 5§ф + Srф) = 2 A*,
5г + 5. + 5. = 0,
где о, о, o' - компоненты скорости Перемещения вдоль осей г, 0, ф. С
учетом (3.1) система (3.2) запишется так:
~мГ + 2Sr ~se - sv + + "Srectge - О,
;T + ii?e-^ + ^-^)ctge + 3^ = lr* <33>
шг^+3V+ 2**ct*8-
где
5, = Хав(6, ф), 25вф -¦^^sin 0-|р - u>cos0 + Se =
= x(|^ +o),
25^ = *(ef T* + <" - *> 4 ** ЛШУ Щ +u sin 8+" "**}
2 Sre = X ^(а - 1) v + -|g-j.
Система уравнений (3.3) допускает следующие операторьп
у 5 -у ^ Y ^
1 - ёф"'- а!Г + + 3 -^
