Групповые свойства уравнений упругости и пластичности. Том 2 - Аннин Б.Д.
Скачать (прямая ссылка):
ТечеПйи пластического несжимаемого материала, который удовлетворяет
условию пластичности Мизёса. В § 1-6 и частично в § 9 строятся точные
решения пространственной задачи, в § 7 - Осесимметричной, в § .8-плоской
задачи.
Пространственные задачи - наиболее важный и наиболее трудныЗГклас?~5ЯДач
в ЛюбомГразделе механики сплощВЫх-рред, и в этом смысле теория
пластичности нё является исключением. В настоящее время пространственные
задачи теории пластичности - наименее исследованная область как по
методам построения то^ных^ решений, так и по численным расчетам.
. Самое первое пространственное решение было построено Р. Хиллом [ЮЗ]' в
1948 г. Оно рпцсывает напряженно-деформированное состояние прямоугольного
стержня, подвергнутого дей-* стнию растягивающих сил и крутящих моментов.
В. Пратер и 1954 г. успешно решил задачу построения поля скоростей для
пластического материала, находящегося в однородном напряженном состоянии
[63]. В 60-е гг. построил интересные классы пространственных решений Д.
Д. Ивлев [29, 30J; им, в частности, найдено .решение, обобщающее плоское
решение Л/Прандтля. Несколько позднее появились работы М. А. Задояйа, в
которых построены новые классы решений, описывающих пространственное
напряженно деформируемое состояние пластических тел [20-22]. Отметим, что
все описанные решения были в основном найдены методом подбора и, конечно
ж'е, не могли охватить всего многообразия 'решений уравнений.
Систематический подход, основанный на методах группового анализа
дифференциальных уравнений, позволяет взглянуть на точные решения с
единой точки зрения, последовательно и с достаточной полнотой охватить
все множества инвариантных решений. Такой подход, развивав-, мый в
работах Л. В. Овсянникова [52, 53], для пространствен-
27
вых уравнений пластичности был реализован в работах Б. Д. ль нина, С. И.
Сенашова [1, 2, 4, 69, 73, 74].
Осесимметричные задачи также являются традиционно трудными для построения
точных решений. Это в первую очередь объясняется тем, что такие задачи,
как правило, не являются статически определимыми. Точных решений здесь
немного, они построены в работах [2, 5, 29, 42, 47, 69, 90, 97].
Плоские задачи - наиболее полно и хорошо разработанный раздел теории,
пластичности. Такие задачи, как правило, принадлежат V гиперболическому
типу, а поля скоростей и напряжений можно рассматривать отдельно.
Несмотря на это, точных, аналитических решений здесь тоже немного.
Большой вклад в решение плоских задач внесйи JI. Прандтль, С. А.
Христианович, В. В. Соколовский, А. Надаи, С. Г. Михлин и многие другие.
Тем не менее даже здесь групповой анализ позволяет .строить новые классы
точных решений L1, 77, 78, 100].
Пусть х,х2ха - декартова прямоугольная система координат, Су, Stj С/, / -
1" 2, 3) - компоненты тензора напряжений и девиа-тора тензора напряжений.
При этом компоненты о" удовлетворяют системе уравнений равновесия
0 (i, / 1, 2, 3),
Оу = Si5 Рбу, -3Р - Оубу,
где Р - гидростатическое давление, часто компоненты Stj при обозначаются
Оу, бу - симйол Кронекера.
В силу условия Мизеса компоненты тензора напряжений или' компоненты -
девиатора тензора напряжений связаны условием текучести Мизеса
(оп - о22)2 + (с22 - о33)2 + (о33 - сп)2 + 6о?г + 6oi3 + 6о|з ч= 6*|,
(0.2).
Six + S|2 + Si+ 2 (Si + Si + SI) = 2*1, (0.8)
#
где к. - предел текучести при чистом сдвиге.
Пусть efi - компоненты тензора скоростей деформации, тогда ->
2e(i =>u(j + uit (, где и = (ut, и2, щ) - вектор скорости. -Среда
предполагается несжимаемой, поэтому
div и - и,-. (= 0. (0.4)
Для замыкания системы уравнений (0.1)-(0.4) предполагается выполненным
закон течения, который связывает компоненты <Sy и ev: '
Stj - Яву, к > 0. (0.5)
В результате получаем замкнутую систему уравнений, которая
и будет рассматриваться в этой главе:
Оу, j - 0, Stj - Аву, Оу = Stj Рбу,
. (0.6/
- 3Р = StfSij = 2*|, uiti = 0.
28
1сключая из уравнений (0.6) о"-, Stj, К, получим четыре уравнения,
связывающие только величины Р, и,,. иг, щ:
У2к, У2к,
¦* ,t 2А ¦ ёЦептип,т), yj
l&iti - О, А2 = Cmrfimn- ¦
Необходимо отметить, что система уравнений (0.7) в общем случае не имеет
действительных характеристик [831.
§ 1. ГРУППОВЫЕ СВОЙСТВА ПРОСТРАНСТВЕННЫХ УРАВНЕНИЙ МИЗЕСА
1°. Запишем систему уравнений (0.6) в развернутом виде: BSi
'11
дхг
dS12
дх1
dSis
дх1
+ 55,2 вХ2 + 5513 дхз дР " дх^
+ dS22 + dS23 дР
Зх2 8хз ¦ " дх2
+ dS2S дх2 + dS33 8х3 II J'J'e
(1.1)
5и, 5м" 5м_
$и + 5аа + 533 - -щ- + = 0, (1.2)
^11 + *^22 + *^ЗЯ + 2(5^8 + + 1?*з) = 2/cf, (1-3)
5м, / 5м, 5м" \
5l1 = ^~д^' 2,Sl2 = ^ ^5ж^ + J'
/- - ди / ди ди \
. Sn-%^, 2SU==^+^), (1.4)
5u" / 5м_ - 5м" \
Известно (2, 74], что система уравнений (1.1)-(1.4) допускает группу
непрерывных преобразований, порождаемую операторами
у 5 .у 5 . у 5
Л* " дх^ 2~~дГ2' 3-~ 5^'
, -
M=Ui?+U*?-+U* ЯГ'
12 3
ф " 5 5 ф 5 5 ,
~ ** 5м Жз 5мГ' T2~XsW~ 5^' '
3 2 13'
29
- a a •
7'3 = 4 Xj 8u ' 1
