Групповые свойства уравнений упругости и пластичности. Том 2 - Аннин Б.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Уравнение (3.2) допускает группу ¦?", порожденную операторами [53]
х* = Щ; Yh} = ^Wh (/с ^
zh = - (I? + Ц + Ц + ?) 6W] (/с, 7=1,2,3,4),
а (1, k = j,
л-ь4- И",**,:
Кроме того, уравнение (3.1) допускает операторы
Т = со , S = со*
ды ' д(?>
Здесь ю* - произвольное решение уравнения (3.2).
Используя эти операторы, можно строить классы точных решений волнового
уравнения.
2°. Рассмотрим функционально-инвариантное решение волно-вого уравнения
[81, 531. Запишем уравнение (3.1) хв виде системы
C2da/dt = dafdx + db/dy + dc/dz, ды/дх = da/dt, ды/ду = db/dt, ды/dz =
dc/dtf (3.3) . da/dy = db/dx, da/dz - dc/dx, db/dz = dcldy.
21
Здесь искомые функции а, Ъ, с, ю зависят от t, х, у, z. Эта сист ма
допускает группу, порожденную операторами Х0, Хи Х2, , (см.-1°). Ищем
частично инвариантное решение, системы (3.
в виде J ' •' .. .
а = /(о>), 6 = g(o>), с = Л(о>). . . (3.-
Здесь искомыми функциями являются /(ю), g(o), А(ю) <о(/, х, у, z). В
дальнейшем производные от функций /(с"), g(a к((д) по со будем обозначать
большими буквами:
'df(a)/da =FUо), dg{a>)/d<a = G(g>)* dh(a>)/dia - Жю). Подставляя (3.4) в
(3.3), найдем
Считая, что d(n/dt?= 0, получим общее решение системы (3.F
Функция ю = o(i, х, у, z), определяемая неявно из (3.6), и ц-зывается
функционально инвариантным решением волновог уравнения. При этом F(со),
G(cо), Я(ш) - произвольные дважд дифференцируемые функции,
удовлетворяющие соотношени.
(3.7). Прямым вычислением можно убедиться, что решением урах нения (3.1)
будет.также функция @(а>), где ф(а>)- произвольна дважды дифференцируемая
функция своего аргумента, а о от ределяется из (3,6).
3°. Приведем другой вывод функционально-инвариантног решения (3.6).
Вместо о введем новую неизвестную функцш t = t(o), x, у, z), зависящую от
независимых переменных со, х, у. (аналогично можно принять за искомую
функцию х, зависящую от t, со, у, z). Вычислим первые и вторые
пройзводнЫе функции по "о, х, у, z (индекс обозначает производную):'
(F2 + Ga + я2-с2) mat = о.
в виде
где
t + F( (д)х + G(co)y + Жсо)г = PUо), Г + ?* + Ж-Сг.= 0.
ш
Уравнение (3.1) эквивалентно уравнению
t%{txx + tyy + ftz) + + ty + -* C2) -
- tl + t\ - C2)/do> = 0.
22
¦астным решением уравнения (3.9) будет функция * = *(ю, ' м, у, Д
удовлетворяющая системе
txx + tyy + tzt ~ 0, t*+ ^ + t* - С2 =0.
Такой будет только функция
? = -F(&)x- Gi&)y - Н{а)г + РЫ), • (3.40)
где F(o>), G((c)), Я(ю), Р(<о) - произвольные функции, связанные
соотношением - -
Совершая обратное преобразование, т. е. выражая из (3.10) (о через i, а;,
у, z, получаем ращение уравнения (3.1).
4°. Найдем функционально-инвариантное решение уравнений теории упругости.
Уравнения Ляме (0.3) эквивалентны системе
pdui/dt = \i(dajdxi + dbjdx2 + dcjdx2) + '
+ (Л + pUdaJdXi + да1/дх2 + да3/дх3), ~
• pdujdt *= fxWdx/dXi + dbjdx2 + dcjdx3) +
+ (X + pKdbJdXt + dbt/дхг + db3/dx3), (3.11)
рдщ/dt = \i(da2/dxl + db3fdx2 + dcjdx3) +
+ (Я, + \k){dcjdxi + dcJdXi + dc^/dXg),
daJdXi = dbjdxu dajdx3 = dcjdxy, dbjdx3 = bcjdx2,
dajdx2 = dbjdxy, daz/6x3 = dcjdzdbjdx* = dcjdx%, (3.42)
да3/дхг = dbJdXy, da2/dx3 = dcjdxy, dbjdx3 =? dcjdx2i
duildxl = dajdt, du±/dx2 =" dtijdt, tfbjdx" - bcjdt,
duJdXy = dajdt, duJdxz = db2/dt, дй31дх3 = dcjdt, (3.13)
дщ/dxi =- da3/dt, dudдхг = dbjdi, du2/dx2 = dcjdt. '
Здесь Hi, cf, bi, Ci (i = 1, 2, 3) -искомые функции, зависящие от А а;,,
х2, х,. Система (3..11)-(3.42) допускает операторы
Хо = Л = * X, - А. -• (3.14)
1 2-3
Полный набор инвариантов группы, соответствующей (3.14), таков: "
• >' . "
uj, о<, Ьй Cf (i = 1, 2, 3>.
Ищем частично инвариантное решение системы (3.11)-(3.13) в виде ~
'
Ut - fAuJ, bl = gl(ul), с1 = Л1(и1),
; dt^Uiud,- b2 = g2(ui), са = Ла(и2), (3.15).
Oj = /s(b"), bt*=g3(u2), Ci = h2(u2).
Здесь девять функции /", (i *= 1, 2, 3), а также ut, "*, us под- . лежат
определению. В дальнейшем производные функций Д, gt, h{
i
23
по соответствующим аргументам будем обозначать большими буквами,
например,
' dfl{ul)/dui - Ftiui), dgj.uj/du-i = G2(u2), dh3{u3)/du3 = Я3(и3).
Йз (3.15), (3.12), (3.13). находим выражения производных функций U, gi,
hi (i = l, 2, 3) по xt, х2, х3 через дщ/dt (г'= 1, 2, 3). Например, i
да1/дх1 == F1du{ldx1 = Ffiajdt = F\diijdt,
dajdx2 = Fidui/dx2 = Fidbjdt = FiGiduJdt,
dajdxt = FjduJdXi = Fidcjdt - F JiiduJdt.
Подставляя эти производные в систему (3.12), получйм систему линейных
однородных уравнений относительно dujdt И - 1, 2, 3):
АцдщШ + Al2du2/dt + A lsdus/dt = О,
Aubujdt + A22du2/dt + A23du,/dt - О,
Audujdt + As2du2/dt + A3sdus/dt = 0,
= -p + p(F?{+ Gi + Hi) +¦(*, + p) F*,
At2=a + p)F2G2,. Al3=F3H3, (3.16)
¦ A2t = (Я, + ii)GtFit Л23 = Я3Я3,
Л2 = - p + № + с? + я') + (к + p) с;,
Asl = (Я, + \i)HiFi, A32 = Я26?2,
^зз = " P + P(fi + GI + Я|) + (b + p) til Условие существования"
ненулевого решения системы (3.16)
detlUyll = 0 (3.17)
представляет соотношение, связывающее функции Ft, ??,, Я,-
(i = 1,2,3).
Переходим к определению функций и, = ut(t, хи х2, хг). Из
