Групповые свойства уравнений упругости и пластичности. Том 2 - Аннин Б.Д.
Скачать (прямая ссылка):
einj0_.
'p?+i
Рф)-
Компоненты тензора'напряжений равны (7 = 0)
2с
5е
5ге ~ япё' 4"
4с,
Sr<p-- жс
р sin 6 1 - о 2 1 -_-_2" Sr<p,
не = 2 JiSe ctg 0d0+3 JiSrtdO+c,.
Это ранение можно' использовать для анализа пластического тедения
конической трубы, которая находится под совместным воздействием
постоянных нормальных и продольных касательных сил (рис. 1). При этом для
определения постоян-
Рис. 1.
37
яых си с*, ft имеем следующие граничные условия: ае|е, = Рц Се |е, = -
Рш* $гъ |е, = т.
Некоторые другие решения,-инвариантные относительно рассмотренной
подгруппы, содержатся в работе [251.
( '
§ 4. ТЕЧЕНИЯ СО СПИРАЛЬНО-ВИНТОВОЙ СИММЕТРИЕЙ
Решения, инвариантные относительно подгруппы Zs - kXs, следует искать в
виде
и = u(r, ?), • v = v(r, ?), w -= иЯг, g), ., 4 '
P-P(r.i), g = z + ft0. .
Такие решения можно использовать для описания пластических течений,
обладающих спирально-винтовой симметрией. .
Запишем, систему уравнений (1.1)-(1.3) в цилиндрической системе координат
д$п . st - se 0Р
0Sr eSrO .
er 1 r 00 1
в5Г0 dr +4 "*e -¦00 r1_
dS" 1 . 0r 1 1 as0z r 00
+
дг Г* дг '
, _??* , Srz , ар
в* г 0z. ' '
0Л>
аГ*
вы' дг
I"
Sr- 50- + 'т)*.
25,0 = Я, (4- W + r W (т))* = *; (¦?¦ +
5г+5в.+ 5г = 0,
5J + 5(c) + 5z + 25jz + 25je + 25|г = 2&f,
где u, и, ы> - компоненты вектора скорости в цилиндрической
системе координат г, 0,-z. С учетом (3.1) система (4.2) запишется
следующим образом:
dSr , к dSrB , дг + г 0& +
8STd , к dSe -т . _r-.ro " // 9ч
-57-+ --g|-+ "af-+ - r аЕ' <4d)
-t к
-jr+T~W
Sr + 5e + 5* " 0,
38
5r-se dP
T r 5=3 dr '
55n_ . -*** _L B±=. ft 0P
+ -r r 0g'
i s"~ 0P
+ Ж' 1 r
д,_х(±3г+-!-). 2S"-".(f+-gL),
С 1 8w О Q ./ к dtp 0V \
* " * ef' 2Sez ~df + Ifj'
S* + 5? + Si + 2Sk + 25' + 2SI - 2A*.
Система* описывает пластическое течение вещества при условии спиральной
симметрии.
1°. Ищем решение системы (4.3) в виде
- u = H(r)sin?-, y = y(r)cosl, w = w(r) cos |, P = P(r, ?).
Пусть 5,8 = Sr± = 0, тогда оставшиеся компоненты девиатора тензора
напряжений зависят только ох одной переменной г. Бели Р - Р(г), то второе
й третье уравнения системы (4.3) удовлетворяются тождественно, первое
служит для определения Р(г).
В этом случае для определения функций из системы "v v, -w получаем
систему обыкновенных дифференциальных уравнений
ки + rv' - v = 0, u>' + " = 0, ,, ,v
(4.4)
ги. + и -kv - rw - О.
Система (4.4) сводится к уравнению Бесселя
т*и" + га' + (г* + к2 - 1)ц =* 0.
Решая это уравнение, получим
и = с,/" + с2У" v = У1 - к*.
При |&| < 1 функция и принимает вещественные значения, если же I&1 > 1,
то можно воспользоваться интегральным представлением функции Бесселя
[981: .
я/t
J.
V ¦
учитывая только действительную часть.
Окончательно решение имеет вид (при сг = 0)
^ Г
и = Cj/V, w - - J udr, kv = rw - rur-и. (4.5)
о
Для определения компонент девиатора напряжений введем обозначения
f = Sr/Se, <р = 5ei/5e.-Тогда аналогично [90] имеем
5а = -.... , 50г = ф5е,
. К 1 + /+/ +<р
г (4.6)
Sz = /5е, 5г=-(/ + 1)5е, P = 5r-j {±±(r)Sedr.
Рае.'2. Рае. 3.
Решение можно интерпретировать, в частности, при ci>0, а>0 как
пластическое . течение круглой трубы длины L (0 < z <. L, а < г < Ь),
которая ¦ находится под действием внутреннего давления Р: -
* Or I м " Р, Or) т-=Ь " О,
осевой силы
. ь
' N = 2я J azrdr
а
и крутящего момента
ь
М = 2я J SBZr2dr<
. Да рис.- 2 построен график функции М(Ь), для а = я/20, а < Ъ *? *? я, к
= 1. На рис. 3 Для а = я/20 построен графике распределения напряжения oz
на конце трубы (о < г <я). Заметим, что при А = О решение (4.5)-(4.6)
переходит в осесимметричное решение Р. Хилла, см. § 7, п, 5.. *
2°. Система уравнений (4.3) допускает алгебру Ли операторов с базисом
л д л д . д . д , & , ~д л д
. ~~ If' А* - ди> ' 8 - ИР' * ~ и'ай + vHv ^ W~dw' 6~~rTv'
Оптимальная система подалгебр для Ьь имеет вид:
(c)!• 4j±4s; ^.4, 4jj At,
(c)2" (Az ztz At, А^У, (Az, (^4, ^5), (/[4, ^5).
Здесь мы учли, что операторы А1 и Аг порождают - центр в алгебре Ли Ls.
~
Построим решение, инвариантное относительно подгруппы <^4, - -i44>.
Решение ищем в виде
Р = Р0(г)," и = ii0tr) exp v- vt(r) exp g, w = w0(r) exp |.
Здесь величины Pe, ire, w0 суть функции только от г. Из (4.3) следует
5r, = Cj/r2, 5,2 s* Ci/r, с,, Cj -const.
юлагая е, = е2 = 0, получаем систему обыкновенных дифференциальных
уравнений
ku0 + rv'0 - v0 = 0, "0 + ^ = 0, (4.7)
(гиеУ + kve + гы?0 = 0.
После преобразований система (4.7) сводится к уравнению Бесселя
г2и0 + ги0 - (к2 + 1 + г2) и0 = 0. (4.8)
Решение уравнения (4.8) имеет вид
Uor=AMr), \ = П+?. (4.9>
Считая, что ,и0 ограничена при г = О (иначе в (4.9) добавляем функцию
Макдональда),/имеем
ii0 = i/v(r), - Aj/V(r)dr, ¦
. . (4.10)'
kv0 = -rwB - (ru0)\ v = Vl + &*,
где 7V - функция Бесселя мнимого аргумента, удовлетворяющая
условию /"(0),= 0 для всех v > О, А - произвольная постоянная.
Обозначая /(г) = SJSe, <р(г) = SBjSe, находим компоненты деви-атора
тензора напряжений аналогично [901:
