Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
(аа(0, Ьй (t) или —'Решения укороченных уравнений
(9.8) или соответственно (9.11)) и решение дг = Artf), _У=.У(0 системы уравнений (9.2) удовлетворяют одним и тем же начальным условиям:
при t = ta Artf0) =дг0(д, у tf0) =_у0 (д;
тогда по любым заданным положительным е и /)') всегда можно найти такое достаточно малое р., чтобы
|*(0-*о(0|<«, LvW-лС)К?
при всех t, удовлетворяющих условию
0< [л tf —10) < D
(т. е. при конечных изменениях медленно меняющихся переменных а, Ь или К, O).
2. Обоснование метода Ван-дер-Поля для установившихся колебаний. Докажем теперь, что, если уравнение Ф (A-) = O имеет простой корень Ki (Ф' (Ki) ^ 0), то по любому заданному положительному, сколь угодно малому числу е всегда можно найти такое достаточно малое значение параметра ja, чтобы система (9.2) имела предельный цикл, лежащий в t-окрестности окружности Xі -j-_ya = Ki, причем этот предельный цикл устойчив, если Ф' (Ki) 0, и неустойчив, если Ф' (K1) 0.
Для доказательства этого утверждения мы будем . предполагать ниже, что функция ф (К) имеет непрерывную производную (по крайней мере в некоторой окрестности корня Ki). Это заведомо имеет место, если функция /(дг, у) в уравнениях (9.2) имеет непрерывные производные (см. формулу (9.14а) и относящееся к ней примечание).
Предположим для определенности, что для рассматриваемого простого корня Ki уравнения Ф (Ar) = O Ф'(K1)^O 3). Тогда Ar=Ari является устойчивым состоянием равновесия первого укороченного уравнения:
= ;аФ (А"), (9.11а)
а на фазовой плоскости х,у имеется устойчивый предельный цикл укороченных уравнений — окружность радиуса Ar1-. Возьмем произвольную, достаточно малую е-окрестность этой окружности (рис. 470), такую, чтобы в ней, т. е. при Ki — є С К =? Ki -j- є,
Ф' (К) < — р, (9.34)
1) г может быть сколь угодно малым, D должно быть таким, чтобы при 0 =? р (t — t0)^D приближенное решение (9.9) не выходило за пределы обла-
сти А.
') Доказательство для случая Ф'(АГ,-)>0 сводится к проводимому ниже заменой t на — t. Случай Ф' (Ki) = O невозможен, так как Ki является простым корнем уравнения Ф(А) = 0. § 3]
Обоснование метода ван-дер-поля
671
где ? — некоторое положительное число; это всегда можно сделать* так как Or(Ar) — непрерывная функция и Ф'(Zift) <[0. Рассмотрим на фазовой плоскости х, у траекторию Г:
x = x(t), y=y(t)
уравнений (9.2) и траекторию Г0:
X0 (t) = K<>(t) cos [Z + o0 (0], j;0(Z)=-Zif0 (Z) sin [Z + 80(Z)1
(9.9)
укороченных уравнений, проходящие (пусть при Z = O) через одну и ту же точку А (0, Ki -j- є) (здесь, как и раньше, Zif0 (Z), O0 (Z) — решение укороченных уравнений (9.11)). Траектория F0 яв- і У
ляется спиралью, скручивающейся к окружности хі = Ki при Z -> -f- сю, так как в силу (9.34) при Кі^К^Кі + г
Ф(А>
-HK-
KiX о
(9.34а)
и, следовательно, Ar0(Z) монотонно убывает, стремясь к Art при Z -> сю. Выберем такой промежуток медленного времени D1 чтобы при Z= —
K0 (Z) — Zift ^ у и за проме-D
жуток времени — траектория Р"
Рис. 470.
F0 делала более одного оборота
вокруг начала координат').
Согласно теореме, сформулированной в п. 1 настоящего параграфа, существует такое |х = |х (є, D), при котором изображающая
') Согласно (9.34а) при Ki dK dt
K=^Ki + *
-Ki),
т. е. для траектории Г0 имеем:
О < Ко (t) — Ki=SZ ы-т. Поэтому за необходимый нам промежуток медленного времени D можно взять D = — In 2. Число оборотов спирали Г0 за этот промежуток времени может быть сделано любым за счет выбора достаточно малого ц. 672 нелинейные системы, близкие к гармониЧ. осциллятору [гл. ix
точка [jc (f), у (/)] не выходит за пределы [JC0 (0> _Уо (0] на всем промежутке времени Osgf
2" -окрестности точки
— . Возьмем это f*
в системе уравнений (9.2). При этом значе-
J^jc J , у j j траектории Г будет, очевидно, нахо-
значение параметра р, нии [л точка J^jc
диться внутри заданной нами є-окрестности окружности х* -\-у* = Kf, а сама траектория Г сделает более одного оборота вокруг начала
координат за промежуток времени 0 =? t ^ — . Так как Г является
фазовой траекторией автономной системы (9.2) и не может в силу этого самопересекаться, то, следовательно, первая точка ее пересечения с осью у (при f^>0)-
точка С -динату
будет иметь ор-Ус +
Поэтому через замкнутую кривую ABCA (рис. 471), составленную из дуги ABC траектории Г и отрезка CA оси у, фазовые траектории системы (9.2) могут только входить (при возрастании t) в область, заключённую внутри этой кривой ').
Совершенно так же можно построить другую замкнутую кривую AlBlCiAu состоящую из дуги AvBiCi траектории системы (9.2), проходящей через точку ЛДО, —Ki-S.), и из отрезка C1Ai оси у; через эту кривую фазовые траектории системы (9.2) могут только выходить (также при возрастании t) в область, лежащую вне ее.
Таким образом, мы построили на фазовой плоскости х, у кольцевую область О, ограниченную кривыми ABCA и AiBiCiAi (рис. 471), из которой траектории системы (9.2) не могут выходить (при увеличении t). Так как в этой области нет состояний равновесия системы (9.2) 2), то согласно теореме качественной теории диффе-
