Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Другие методы, разработанные для исследования динамических систем, близких к консервативным системам (например, методы «средней крутизны» [18, 136, 178, 73, 74], гармонического баланса [78, 79, 46, 47, 2] и др. [118]), предполагают близость колебаний к синусоидальным и по существу дела являются видоизмененными формами методов, излагаемых в настоящей главе.
(9.4) 654 НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ, БЛИЗКИЕ К ГАРМОНИЧ. ОСЦИЛЛЯТОРУ [гл. IX
или
х = К cos (t -(- 8), ) у = — /С sin (f + &) J
(9.5)
(а и b или К и 8 — постоянные интегрирования), а фазовыми траекториями являются окружности с центром в начале координат, по которым изображающие точки двигаются с постоянной угловой скоростью (0=1.
Будем искать решения уравнений (9.2) при достаточно малых ц (0<ц<1) в том же виде (9.4) или (9.5), но, разумеется, считая
теперь а и'Ь (или К и 8) не константами, а некоторыми, пока неизвестными функциями времени (они, как увидим ниже, будут медленно меняющимися функциями времени). Эта замена переменных X, у на a, b (или К, 8)— на «переменные Ван-дер-Поля» — геометрически может быть интерпретирована как переход с фазовой плоскости X, у на другую плоскость (на плоскость переменных Ван-дер-Поля), вращающуюся по часовой стрелке относительно плоскости X, у (вокруг начала координат) с постоянной угловой скоростью а)=1; на этой вращающейся плоскости а и b являются прямоугольными координатами, К и 8 — полярными (рис. 466); согласно (9.4) и (9.5) a, b и К, 8 связаны между собой соотношениями:
а = К cos 8, ? = -/^81). (9.6)
В переменных a, b уравнения (9.2) принимают вид:
da , . db . , п — cos^-f -^7 sm t= О,
Рис. 466.
dt
dJL ' dt
dt
sin t -(- ^ cos t = [>.f(a cos t -(- b sin t, — a sin t -(- b cos t)
1J В силу (9.6) положительным направлением отсчета полярного угла 9 является направление по ходу часовой стрелки.
Заметим также, что при р. = 0 изображающая точка, двигаясь по фазовой плоскости X, у по круговым фазовым траекториям, остается неподвижной относительно вращающейся плоскости, т. е. при р. = 0 каждая точка плоскости переменных Ван-дер-Поля является состоянием равновесия. § 2] или
§ 2] МЕТОД ВАН-ДЕР-ПОЛЯ
da dt db
¦ \3.f(a cos t -j— b sin t, — a sin t -j- b cos t) sin t,
¦щ = \xf (a cos t -j- b sin t, — a sin t -j- b cos t) cos t.
655
(9.7)
da dt
(9.7a)
Рассматривая правые части полученных уравнений как функции трех переменных a, b и t (эти функции — периодические по t с периодам 2тс) и развертывая их в ряды Фурье по t (коэффициенты Фурье являются функциями а и Ь), имеем:
Ь) + =P1 (а, Ь) cos t + у, (а, Ь) sin f+ '
4- ср2 (a, b) cos 2t -j- <р2 (a, b) sin 2/-)-...1,
>
[Щ.+ ф, (a, b) sin/ +
+ ф2 (a, b) cos It + ф2 (a, b) sin It +...),
где с-fi (a, b), срг (a, b), фг (a, b) и фг (a, b) — соответствующие коэффициенты Фурье функций
— \Sif (a cos t -j— b sin t, —a sin t + b cos t) sin t
и
+ |i,/(a cos t + b sin t, — a sin t + b cos t) cos t
(при фиксированных а и b).
Уравнения (9.7) (или (9.7а)) — это наша система (9.2), преобра-
Ida
зованная к другим, медленно меняющимся переменным a, b и
— являются величинами порядка (xj. Так как формулы преобразования переменных (9.4) содержали явно время, то новая система уравнений неавтономна, хотя исходная система была автономной. От этой системы уравнений (9.7а) в медленно меняющихся переменных мы перейдем к приближенным, укороченным уравнениям Ван-дер-Поля:
da Уо (а, Ъ) db ф0 (а, Ь) dt —^ 2 ' dt 2
(9.8)
отбрасывая в правых частях все «осциллирующие» члены или, иначе говоря, производя усреднение правых частей уравнений (9.7) (или (9.7а)) по явно входящему времени.
Решения полученной системы укороченных уравнений (9.8) аппроксимируют при достаточно малых значениях параметра (х решения «полной» системы (9.7), эквивалентной, как уже указывалось, 656 НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ, БЛИЗКИЕ К ГАРМОНИЧ. ОСЦИЛЛЯТОРУ [гл. IX
исходной системе (9.2). Поэтому если мы найдем решения укороченных уравнений а = а0 (t), b = b0 (t), то с помощью формул преобразования переменных (9.4) мы получим приближенные (но тем более точные, чем меньше значение параметра (л) решения системы (9.2):
¦*о it) = «о it) cos t + b0 (t) sin t, j У« it) = — a« it) sin t -f b0 (t) cos t. f
В частности, состояния равновесия укороченных уравнений a0tf) = = const, Ьйit)= const соответствуют (приближенно) синусоидальным Периодическим решениям уравнений (9.2) с периодом 2тс.
Отложив до следующего параграфа доказательство аппроксимирующих свойств укороченных уравнений, займемся сейчас их исследованием (построением их фазовых траекторий на плоскости а, Ь). Система укороченных уравнений (9.7), как и первоначальная система (9.2), является автономной и может быть исследована обычными методами. Особенно просто это исследование проводится в полярных координатах К, 8,- в которых укороченные уравнения имеют разделяющиеся переменные.
Для вывода укороченных уравнений в полярных координатах сделаем в исходных уравнениях (9.2) замену переменных х, у на полярные переменные Ван-дер-Поля К, & согласно (9.5)*):
