Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
то при переходе а через а = 1 возник-
нут автоколебания, амплитуда ко- /
торых, начиная с нуля, будет непре- рис ^
рывно увеличиватьсяа). При обратном изменении а амплитуда колебаний постепенно и непрерывно уменьшается, доходит до нуля, автоколебания исчезают и генератор начинает вести себя как затухающий осциллятор (рис. 475). Такой характер возникновения колебаний носит название мягкого возникновения автоколебаний (в данном случае при изменении параметра а) в отличие от жесткого возникновения автоколебаний, когда сразу возникают колебания конечной амплитуды, несмотря на то, что мы непрерывно и медленно меняем параметр.
Найдем теперь, пользуясь укороченными уравнениями, приближенные аналитические выражения, дающие процессы установления колебаний (мы будем полагать, что 1). Интегрируя уравнения (9.39), находим3):
К=—7==, „ , S = S0 = Const
/1 +Ce-Ma- 1)/ '
') Теория бифуркации для рассматриваемого случая в общем виде дана в § 10 этой главы.
а) При этом предполагается, что изменения параметра совершаются достаточно медленно.
8) Первое из уравнений (9.39) подстановкой z=K~a приводится к линейному уравнению:
і / i\ Iia
откуда 680 НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ, БЛИЗКИЕ К ГАРМОНИЧ. ОСЦИЛЛЯТОРУ [гл. IX
(здесь С — произвольная постоянная, определяемая начальным значением К, например при t = 0; нетрудно видеть, что — 1 С =? со). Отсюда после перехода к переменным х, у получим1):
x{t) = ^o cos (< + »„)
У® =
/l + Ce - -_ ATo sin (t + ftp) Vl +Ce-^ia-V
(9.42)
Можно сказать, что это — приближенное выражение общего интеграла уравнений (9.38), так как здесь две" произвольные постоянные: С и O0 (заметим, что C=O соответствует предельному циклу и С=оо —состоянию равновесия).Обратим теперь внимание на следующее обстоятельство: выражение (9.37), принятое нами для характеристики, содержало квадратичный член, который, однако, совершенно не входит в выражение нулевого приближения общего решения (его влияние будет сказываться только в следующих приближениях). Это — весьма общее положение, относящееся не только к квадратичному, но и к любым четным членам характеристики. Если мы аппроксимируем характеристику в виде любого многочлена, четные члены не оказывают никакого влияния на нулевое приближение. Происходит это вследствие того, что разложение четных степеней синусов и косинусов содержит только синусы и косинусы четных кратных углов, и поэтому в их разложении не содержится основной (резонансной) частоты.
2. Ламповый генератор при аппроксимации характеристики лампы полиномом пятой степени. Рассмотрим снова тот же ламповый генератор, но возьмем другое, более точное аппроксимирующее выражение для характеристики лампы, а именно положим:
ia = <«о + S0U + SlUi + SiU3 + S3Ui - SiU"- (9.43)
Тогда для крутизны характеристики имеем:
S (Eg + и) = = S0 + 2S.B + 3S2hs + 4S3U3 — 5SiUi 3).
Положив U = U0X, где H0 = получим для приведенной кру-
') Очевидно, автоколебания устанавливаются тем медленнее, чем меньше |х(а — 1) = и0 (MS0 — RC), т. е. чем ближе генератор к порогу самовозбуждения.
s) S0, Si > 0, знаки остальных коэффициентов могут быть любыми. Условие Si > 0 обеспечивает уменьшение крутизны 5 при увеличении I и\ (при достаточно больших | и \), что, как мы увидим ниже, необходимо для существования устойчивых автоколебаний. Коэффициенты ia0, S0, Si, S2, S3 и S4 при заданной характеристике лампы, очевидно, зависят от сеточного смещения Eg. § 4] ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ВАН-ДЕР-ПОЛЯ 681
тизны:
= S (Ef,+ U0X) = J + ^x + ^9 + ^3 _ х, , оо
что даст возможность записать уравнение лампового генератора в виде Jt-I-JP = PL ? — 1 -J-OL (1 -f - P1AT -}- -f- рзлг3 — лг1)] лг. (9.44)
Согласно (9.11) и (9.12) укороченные уравнения записываются в форме:
где
Уравнение Ф (A-) = O всегда имеет корень А"=0. Это означает, что начало координат всегда является состоянием равновесия. Так как
— 1
ф'(0):
2
то это состояние равновесия устойчиво при а<^1 и неустойчиво при а^>1 (при TWSft ]> RC, когда генератор самовозбуждается). Остальные корни уравнения Ф(А*) = 0, отличные от нуля и являющиеся радиусами предельных циклов, очевидно, являются корнями биквадратного уравнения:
которое не может иметь более двух положительных корней.
n R _ SS1U0 о = зSaU02 й _ 4S,U30
2) ф(К) = К [(а — 1) Sin2 г + a?, к COS ; Sin2 - +
+ a? K1 COS2 ; sin2 ; + a?, K COSs ; Sin3 = — a Ki COS* = sin» ;], откуда, заметив, что sin2;=-^-, cos $ sin2 sin \ cos2 ; =0,
1
cos2; sin2 5 = -g-, cos8; sin3 J = sin3 S cos2 $ = 0,
1
COS1 ; sin2 ; = Sln4 ; COS2 ; = у [COS1 S Sin2 $ + Sin1 ; COS2 ;] = получим (9.45).
= ^ COS3; sin8; = , 682 НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ, БЛИЗКИЕ К ГАРМОНИЧ. ОСЦИЛЛЯТОРУ [гл. IX
Для графического решения этого уравнения построим диаграмму
(рис. 476), на которой по оси абсцисс будем откладывать у = -^——,
а по оси ординат р =Kf (квадраты радиусов предельных циклов). На этой диаграмме кривая, определяемая уравнением (9.46):
_а-1 _ K1 УК* _ P8 ?p_ т а 8 4 8 4 '
(9.46а)
