Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
^COS (* + »)_*¦§ sin (/ + в)=-О, — ^ sin (t + 8) — к § СОs(t + 8) = ix f[K cos (t + 8), — К sin (t + 8)]
dK db
или, разрешив относительно и ,
dJt = — ц / [К cos (t + 8), — К sin (t + 8)1 sin (t + 8), § = — ^f [К cos (t + 8), — К sin (t + 8)] cos (t + 8).
(9.10)
Усредняя правые части полученных уравнений рассматриваемой динамической системы по явно входящему в них времени t (или, что то же самое, по u = t-\-b, поскольку время t входит в правые части только в комбинации ^ —(— 0), получим следующие укороченные уравнения для К и 8:
^ = H ф ІК), § = |XW(K)t (9.11)
¦) Укороченные уравнения в переменных К, конечно, можно получить и из укороченных уравнений (9.8) заменой переменных (9.6). § 2]
где
МЕТОД ВАН-ДЕР-ПОЛЯ
2*
657
Ф (Ar) = — ^ / [К cos н, — К sin гг] sin гг du, о
2*
W(K) = - 2^ ^/[ArCos и, —Ksmu]cosudu
(9.12)
— средние значения по и периодических (с периодом 2тс) функций —/[К cos и, —ArSiniilsinii и —^/[ArCOSK, —ArSiniilcosH,
зависящие только от К1)-
Проведем исследование системы укороченных уравнений и построение их фазовых траекторий на плоскости переменных Ван-дер-Поля.
Начнем с первого из уравнений (9.11), которое мы сможем исследовать независимо от второго:
(9.11а)
качественная картина уравнения такого типа, как мы видели, полностью определяется расположением и характером состояний равновесия на соответствующей фазовой прямой.
') В самом деле, правые части укороченных уравнений для К и 9 — свободные члены в разложениях Фурье по явно входящему времени t правых частей уравнений (9.9) — соответственно равны:
Ik
Ф = ~І J/[ATcos (? + »), -к sin (? + 0)] sin (?+»)d5 о
и
Ik
^=^/[ATcos ($+»), —К sin (?+8)] cos« + »)d;
6
(интегрирование ведется при фиксированных значениях К и Э), откуда, полагая а = 5 + 9 и используя периодичность подинтегральных функций по а (период равен 2я), получим (9.12).
Заметим, что для неавтономных систем вида х + х = ^f (х, х, t) укороченные уравнения получаются тем же способом, путем преобразования к медленно меняющимся переменным и последующего усреднения правых частей полученных уравнений по времени t, явно входящему в них. Укороченные уравнения получатся также автономными, но с неразделяющимися переменными и в полярных координатах К, Э. 658 НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ, БЛИЗКИЕ К ГАРМОНИЧ. ОСЦИЛЛЯТОРУ [гл. IX
Координаты этих состояний равновесия суть корни уравнения
Ф (K) = O (9.13)
или
2я
—J f(K cos и, —/(rSinK)SinKrfK = O. (9.13а)
Состояние равновесия K = Ki будет устойчивым, если
Фг (#«)< 0 (9-14)
или если')
lit
-?- I f'y (.Ki cos и, — Ki sin и) du < 0, (9.14а)
и неустойчивым, если
Ф'(А-,)>0.
Остальные движения, как мы знаем, являются либо асимптотическими к состояниям равновесия как при t—*-j-oo, так и при t— — оо, либо асимптотическими к состоянию равновесия для t—»-{-оо и уходящими в бесконечность для t —<•-OO и т. д.
') Действительно,
2я 2я
Ф' (AT) = — ^ f'x cos и sin и du + ~ j f'y sin8 и du = о о
2я 2я
= — J IfX K sin и +/; AT cos и] cos и du + ¦ ^ f'y du =
2it 2it 2it = 2k І їй Vcosda + ^K ff sin " du + І J fyda =
O OO
2it 2it
ф' (AT,) = -2'- J fy (Ki cos B1 - Ki Sin B) da.
откуда в силу (9.13)
2я § 2] МЕТОД ВАН-ДЕР-ПОЛЯ 659
Для этих движений, как всегда в таких случаях, могут быть найдены и аналитические выражения Действительно, из (9.11а) имеем:
к
Ко
где AT0— значение К при t = t0, откуда, разрешая это уравнение относительно AT, имеем:
^= -ли-
Теперь перейдем ко второму из уравнений (9.11):
IJ- = I^T (tf). (9-116)
Здесь следует различать два случая. В первом случае, довольно
часто встречающемся на практике, или
2л
-ущ-1 /(AT cos и, — К sin н) cos udu^o.
х) Мы сейчас не рассматриваем вопроса о том, можно ли фактически вычислить те интегралы, которые содержат эти аналитические выражения. 660 НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ, БЛИЗКИЕ К ГАРМОНИЧ. ОСЦИЛЛЯТОРУ [гл. IX
В этом случае второе уравнение интегрируется сразу: =0 и & = const = O0,
и мы можем сразу представить себе картину фазовых траекторий на плоскости переменных Ван-дер-Поля. Все интегральные кривые суть прямые, проходящие через начало координат и наклоненные под всевозможными углами o = const. Движение вдоль каждой из этих прямых происходит одинаково и определяется уравнением (9.11 а). Корни уравнения (9.13) K=Ki дают радиусы окружностей, каждая точка которых является состоянием равновесия укороченной системы. Примерная картина разбиения на траектории плоскости переменных Ван-дер-Поля
(плоскости a, b) в частном случае трех состояний равновесия укороченного уравнения (9.11а) изображена на рис. 467.
Если мы перейдем теперь от вращающейся плоскости a, b к .неподвижной фазовой плоскостих,у с помощью формул преобразования (9.4) или (9.5), то, как нетрудно видеть, окружностям, состоящим из состояний равновесия на плоскости а, Ь, будут соответствовать на плоскости х,у круговые предельные циклы, имеющие те же радиусы K1 (рис. 468). Движение изображающей точки по какому-нибудь циклу, имеющему радиус Ki, следует закону:
