Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Рис. 471.
') Траектории системы (9.2) не могут пересекать дугу АБС траектории Г той же системы уравнений, а на отрезке CA оси у х = у > 0.
а) Единственное состояние равновесия системы (9.2) при достаточно малом fi лежит на оси х вблизи начала координат; его абсцисса определяется уравнением
0) = 0. § 3]
обоснование метода ван-дер-поля
673
ренциальных уравнений второго порядка (см. гл. VI, § 2) в этой оЗласти, т. е. в s-окрестности окружности XiJyi = Kf, имеется устойчивый предельный цикл системы (9.2) с выбранным выше значением параметра р..
Доказательство существования неустойчивого предельного цикла системы (9.2) при достаточно малом р., лежащего в окрестности окружности Xі -f^3 = Kl, где Ki — корень уравнения O(Ar) = O, причем Ф' (Art) 0, сводится к только что проведенному заменой t на — t. Таким образом, предложение, сформулированное в начале настоящего раздела § 2, доказано ').
В заключение параграфа докажем, что при достаточно малых р. система уравнений (9.2) не имеет предельных циклов, лежащих вне малых окрестностей окружностей х1 Jy1 = Ki- Другими .словами, докажем, что, определяя корни Ki уравнения Ф (Ar) = O (пусть они все простые), мы тем самым найдем все предельные циклы системы уравнений (9.2) с достаточно малыми значениями параметра р.. Точнее, докажем следующее:
Пусть ф (К) 0 при 0 Ri sg К =? Ri; тогда существуют такие достаточно малые значения параметра р.:
при которых система уравнений (9.2) не имеет пр'едельных циклов в кольцевой области R:
Положим для определенности, что Ф(А")^>0 при R1 ^ К ^ Ri, Тогда в силу непрерывности функции ф (АГ) (что заведомо имеет место, так как f(x,y)— непрерывная функция) существуют такие
укороченных уравнений, начинающиеся (пусть при f = 0) в какой-либо точке окружности лга -|-.уа = Rl (рис. 472). Для решения
') Для доказательства этого предложения мы использовали теорему о существовании предельного цикла, справедливую только для автономных систем второго порядка. Доказательство аналогичного утверждения для систем с любым числом степеней свободы содержится в работах Н. Н. Боголюбова [35, 36].
22 Теория колебаний
О О ^ Но,
Rsl Ara +У R\.
(9.35) 674 нелинейные системы, БЛИЗКИЕ К гармонич. осциллятору [гл. IX
K= Ко (!) первого укороченного уравнения на отрезке R1 ¦¦ =^ R2 -)- є, очевидно, имеем:
f >И>о>0,
т. е. для траектории (и при Z]>0):
Ir0 на том же промежутке изменения Ar0(Z)
К, (0 >Яі + ИУ-
Следовательно,
при
Z =
Ri
м-Ф»
D M-
Kn
D
If0 за промежуток времени пересечет
т. е. траектория
кольцевую область R и выйдет за окружность х2 -\-у2 = (Ri -)- є)2.
Но согласно теореме, доказанной в первом разделе настоящего параграфа, существует такое р,0 = р,0 (s, D), что при любом заданном
о [j. =? [J.Q и при любых 0 =?
^ / ^ — изображающая точка
[л: (Z), у (Z) ] системы (9.2), двигающаяся по траектории f, не выйдет из є-окрестности точки [x0(Z), _у0 (Z) ]. Следовательно, за промежуток времени
не только кривая
+-э—г
Рис. 472.
70, но и траектория j системы (9.2) пересекут область R и выйдут за ее границу.
Так как кольцевая область R не содержит состояний равновесия системы (9.2) (при достаточно малых [а.), то в .ней могут быть только такие замкнутые фазовые траектории (предельные циклы) системы (9.2), которые охватывают окружность х2 -|-_у2 = R;. Но система (9.2) не может иметь и таких предельных циклов, так как если бы такой цикл существовал, то он пересекался бы с траекторией f той же системы уравнений (9.2), что невозможно ').
Таким образом, мы доказали, что при достаточно малых |х система уравнений (9.2) имеет предельные циклы, близкие к окружностям
1J Доказательство для случая Ф(К)<0 при R1 =? AT =? R1 полностью аналогично изложенному выше, только в этом случае начальную точку траекторий Y и Y0 нужно брать на окружности л:а +jva = /?f. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ВАН-ДЕР-ПОЛЯ
675
хг Jyi = Kl, где Ki — корни уравнения ?(/?') = 0, и не имеет других предельных циклов
На этом мы закончим изложение обоснования метода Ван-дер-Поля и перейдем к рассмотрению с помощью этого метода некоторых автоколебательных систем.
§ 4. Применение метода Ван-дер-Поля
Рассмотрим при помощи метода Ван-дер-Поля колебания лампового генератора с колебательным контуром в цепи сетки или в цепи анода (рис. 465), пренебрегая, как обычно, анодной реакцией и сеточными токами.
Пусть затухание колебательного контура
<°,КС<1.
Тогда уравнение лампового генератора приводится (см. § 1 настоящей главы) к следующему уравнению, близкому к уравнению гармонического осциллятора:
JC —(— Jtr = (j. [—1 -|-а S Cjfj] X, (9.3)
где X = (?г0 — некоторый масштаб напряжений), p. = %RC1,
а = --коэффициент возбуждения генератора и s (х) =
— SJ?s^-Uox) — приведенная, безразмерная крутизна характеристики
O0
лампы генератора.
Укороченные уравнения (8.1 Ij для этого уравнения, очевидно, запишутся в виде:
где
ф (К) = -і- ^ [— 1 + as (к COS E)] к Sin2 E d\ =
