Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Пусть a = a (f), b = b(t) — решение «полной» системы:
Tt=* { j^l+2 ^ cos *+ь (а> Vsin м} -
-g = ц { M^L -f 2 [Фу (а, Ь) cos jt + ф, (а, Ь) sin jt] }
(9.7a)
и a = a0(t), b = b0(t)— решение системы укороченных уравнений:
(9.8)
da Уо (а, Ь) ~dT 2
db =„ ^0 (а> b^ W1 2 1
удовлетворяющие одним и тем же начальным условиям: при t=st0 a (tQ) = а0 (t0), b (to) = bo тогда no заданным положительным є и D (s может быть сколь угодно малым, D — сколь угодно большим) всегда можно найти такое достаточно малое (х, чтобы
ИО-МОІО, ІМ0-М0ІО
или
to^t^to + —.
г
Прежде всего заметим, что укороченные уравнения (9.8) преобразованием времени т = (здесь т — так называемое «медленное» время) приводятся к виду:
da _ у0 (а, Ь) db _ ^0 (а, Ь) . dx ~ 2 ' dx ~~ 2
поэтому их решение зависит только от «медленного» времени T И от начальных условий при некотором т = т0. Следовательно, задавая начальные значения а0 (t„), b„ (t0) и промежуток «медленного» времени D1 мы тем самым задаем на плоскости a, b некоторую конечную и664 НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ, БЛИЗКИЕ К ГАРМОНИЧ. ОСЦИЛЛЯТОРУ [гл. IX
не зависящую от |л дугу фазовой траектории о = O0 (Z), b = b0(t)
^o ^ t -f- j укороченных уравнений. Таким образом, наше
предложение утверждает, что решение укороченных уравнений обладает указанными выше аппроксимирующими свойствами на любой заданной дуге фазовой траектории укороченных уравнений (на конечных интервалах изменения переменных а и Ь).
Для сокращения выкладок мы докажем сформулированное выше предложение для случая одного уравнения первого порядка:
?=pF(a,f), (9.16)
для которого укороченное уравнение имеет вид:
-2Г = »"fW- (9Л7>
Здесь F(a,t)— функция периодическая по явно входящему t (с периодом 2іг), а
2к
/ (a) J F (a, l)dl
о
— ее среднее значение по t (при любых фиксированных а). Заметим, что функцию F (a, t) можно представить в виде:
F (а,/)=/(а) + cp(o,Z), (9.18)
где, очевидно, ср (a,t) — функция, периодическая по t (с периодом 2я) и имеющая среднее значение (также по t при любых фиксированных а), равное нулю; таким образом, при любых ant
Гер (а, 5)(Й = 0. (9.19)
Доказательство для интересующего нас случая системы второго порядка (9.7а) (или для системы уравнений любого порядка, записанной в медленно меняющихся переменных) не отличается по идее от доказательства, которое будет проведено ниже.
Будем рассматривать решение o = o(Z) «полного» уравнения (9.16) и решение а =а0(/) укороченного уравнения (9.17), удовлетворяющие одному и тому же начальному условию:
при Z = Z0 a (Z0) = O0 (Z0) = г;.
Мы будем предполагать ниже, что на некотором интервале изменения а
Io-TJl <А (9.20)§ 3] ОБОСНОВАНИЕ МЕТОДА ВАН-ДЕР-ПОЛЯ
665
и при любых t функции /(а) и F (a, t) (или /(а) и ср (a, t)) непрерывны, ограничены и, кроме того, удовлетворяют условиям Липшица, т. е. существуют положительные числа М, Р, Q и В такие, что при любых а, а', а" в интервале (9.20) и любых t выполняются неравенства *):
|/(а)|<М, (а, ОКА )
|ср(а", t) — ?(а', t)\<Q\a"-a!\, (9.21)
IF(a",t) — F(a', t)\<_B\a" — а'\. j
Заметим, что последние два неравенства (9.21) заведомо выполнены, если в интервале (9.20) функции /(а) и F(а, t) имеют непрерывные и ограниченные производные по а, в силу теоремы Лагранжа о конечных приращениях функций.
Нам нужно доказать, что по любым заданным положительным числам в и D (в сколь угодно мало) всегда можно подобрать такое достаточно малое ja, чтобы для всех t, удовлетворяющих условию
0 ^1Atf-
выполнялось неравенство
la(0 —MOIO
На число D накладывается только одно ограничение: D должно быть таким, чтобы решение au(t) при любых ja и при всех значениях t, удовлетворяющих неравенству 0 ^ ja tf —^0) D, не выходило за пределы выбранного ранее интервала (9.20), т. е. чтобы
ко (О—-Л IО (9-22)
при
O^1A
Такое D всегда можно выбрать, так как решение а0 (t) есть функция только [Atf — ^0). Заметим, что и здесь, задавая начальное значение ті и промежуток «медленного» времени D, мы задаем на траектории а = а0 tf) укороченного уравнения некоторый отрезок конечной длины; таким образом, мы хотим доказать, что решение а0 tf) аппроксимирует (при достаточно малых р.) решение a tf) на всем этом отрезке траектории укороченного уравнения, т. е. при конечных изменениях переменного а.
Для доказательства нашего предложения будем искать решение уравнения (9,16) методом последовательных приближений, взяв
') Каких-либо ограничений на значения г накладывать не нужно вследствие непрерывности и периодичности по t функции ? (a, t).666 НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ, БЛИЗКИЕ К ГАРМОНИЧ. ОСЦИЛЛЯТОРУ [гл. IX
за нулевое приближение а0 (Z). Первое приближение мы найдем, подставляя a0(t) в правую часть уравнения (9.16) и интегрируя:
a, (Z) = т) + fx If[а„ (Z), Z] dt. (9.23)
Точно так же мы найдем второе приближение:
аа (Z) = т) + fx jF [ах (Z), Z] rfZ, (9.24)
и вообще я-ым приближением будет:
t
1
<о
МО = 1)+ [aJ^ K-! (?), Ц dt. (9.25)