Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
—TZ
к
= ^- J [— 1 —(— as (К cos ^)] Sin2US
о
*) Мы доказали это для случая грубой системы (9.2), когда все корни уравнения Ф (К) = О простые.
22* 676 НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ, БЛИЗКИЕ К ГАРМОНИЧ. ОСЦИЛЛЯТОРУ [гл. IX
в силу четности подинтегральной функции и
-и
qr (К) = JL j [— 1 + as (К COS I)] к SiH I cos Ul = 0 (9.36)
—ж
в силу нечетности подинтегральной функции.
Таким образом, при любых характеристиках лампы Vtr(Ar) = O и период автоколебаний (с точностью до членов порядка ц2) совпадает с периодом собственных колебаний колебательного контура генератора (при R = O).
1. Ламповый генератор при мягком режиме. Аппроксимируем характеристику лампы полиномом третьей степени:
Ia =f(Eg + и) = Iali + SbU + S1U* — Sy-,
(9.37)
тогда крутизна характеристики
S (Eg + и) = = S0 + 2S1U - 3SsH2 '). Положим U = UssX. Выбрав масштаб напряжений H0 так, чтобы коэф-
мы приведем
фициент при Xі обратился в единицу: H0 = J/^ безразмерную крутизну s (лг) к виду:
S (х) = 1 -f- P1Ar — лг2,
где
о 2Sj
3S,
Если характеристика лампы симметричная и аппроксимируется
полиномом Ia = г'о0 + S0U — S2H3 (рис. 473),то напряжение и0 имеет физический смысл «напряжения насыщения» характеристики:при и= = ±и0 S0 = O. Очевидно, такой полином аппроксимирует свойства реальной характеристики только при I и I ?=: H0, т. е. при
Итак, при аппроксимации характеристики лампы полиномом (9.37) уравнение лампового генератора (при M0RC^ 1) приво-
Рис. 473.
дится к следующему уравнению:
Зс + JC=P- [— 1 + а(1 +?ix— х2)]х,
(9.38)
') Крутизна характеристики в состоянии равновесия S0 > 0; мы будем полагать также, что и S2 > 0. Последнее обеспечит уменьшение крутизны S(Esr-^u) при возрастании ]«| (когда \и \ достаточно велико), являющееся характерным для реальных ламп. § 4] ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ВАН-ДЕР-ПОЛЯ
677
для которого в согласии с (9.11) и (9.12) укороченные уравнения в полярных переменных Ван-дер-Поля К, 9 запишутся в виде '):
'4=АЬ-'-«?]• з=».
Радиусы предельных циклов на плоскости х, у (в нулевом приближении) даются уравнением
Ф(/О=![а-1-а?] = 0. (9.40)
Здесь возможны два случая. Если а<4, т. е. MS0 RC (условия самовозбуждения генератора не выполнены), то уравнение (9.40) имеет единственный действительный корень K= 0, соответствующий состоянию равновесия (0,0) лампового генератора. Это состояние равновесия устойчиво, так как при a ^l
Ф'(0) = ^!<0.
Все остальные траектории, как нетрудно видеть, суть спирали, асимптотически приближающиеся к состоянию равновесия в начале координат при /-*--|-оо. Таким образом, при мы имеем на
фазовой плоскости х, у картину, характерную для затухающих колебаний (рис. 474, а), — при любых начальных условиях колебания в генераторе затухают и устанавливается равновесное состояние.
При а1 (т. е. при MS0^> RC), когда условие самовозбуждения генератора выполняется, уравнение (9.40) имеет два интересных для нас корня:
Ar=O и K=lY°-^ = K0.
1J Функция Ф (AQ — правая часть первого укороченного уравнения — может быть получена усреднением по \ функции
[-1 + а (1 + Pi К cos і - К" cos2 ?)] К Sin8
т. е.
ф (/Q = KRa — 1) sin2 = + a?l к cos ; SinaS — аК2 COS2 = Sin2 ;]
(здесь и ниже чертой сверху будут обозначаться средние значения по і соответствующих функций). Так как
sin2 5 = cos; Sin2 5 = sin ; cos2 5 = 0, cos2 ? sin2 % = sin2 25 = у,
то 678 НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ, БЛИЗКИЕ К ГАРМОНИЧ. ОСЦИЛЛЯТОРУ [гл. IX
Первый из них соответствует неустойчивому состоянию равновесия (0,0), так как теперь
®40)=i=LL>0.
Второй корень соответствует предельному циклу радиуса и притом устойчивому, так как
Остальные траектории разбиваются на два класса: на траектории
Рис. 474.
наматывающиеся снаружи на предельный цикл при Z-»--j-oo и уходящие в бесконечность при t—>—оо, и на траектории, наматывающиеся изнутри на предельный цикл при t—»--[-со и стремящиеся к состоянию равновесия при t-*- — оо. Мы имеем картину, характерную для простейшей автоколебательной системы, работающей в мягком режиме (рис. 474, б), — при любых начальных условиях изображающая точка асимптотически (при Z-»--|-co) приближается к устойчивому предельному циклу, что соответствует установлению в генераторе периодических, близких к синусоидальным, колебаний ("автоколебаний).
Амплитуда автоколебаний дается радиусом предельного цикла Ar0 и в размерных единицах, очевидно, равна
г г _„ к _oi/lWEEc. ^¦q — V4 — Zy ^ 3/И5, ' § 4] ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ВАН-ДЕР-ПОЛЯ
679
период автоколебаний (с точностью до членов порядка ja'2) равен 2ic (в безразмерных единицах), поскольку 1F(ZC) = O, или в обычных единицах
Т = 2к/1С.
Если, начиная с некоторого значения параметра а 1, мы будем его непрерывно уменьшать (например, уменьшая коэффициент обратной связи М), то радиус предельного цикла будет также непрерывно уменьшаться, стремясь к нулю при а—>-1. При а=1 предельный цикл исчезнет, сольется с неустойчивым фокусом, передав фокусу свою устойчивость; мы видим, что а = 1 является бифуркационным значением параметра a '). Если изменять а непрерывно от значения до значения а^>1,
