Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Мы видим, что возникновение и исчезновение автоколебаний происходят, в отличие от случая мягкого установления (при
при разных значениях коэффициента возбуждения генератора а =-
аС
(при 1 = 1 и при а = а0), причем автоколебания появляются и прекращаются с различными и в обоих случаях конечными амплитудами. В общем получается типичная картина так называемого жесткого установления автоколебаний (рис. 479)а).
') Конечно, автоколебания устанавливаются не мгновенно. Скорость их установления TeM МеНЬШе, ЧЄМ Меньше fi.
s) Мы употребляем термины «мягкий» и «жесткий» режимы в двух смыслах. Во-первых, мы говорим о мягком или жестком режиме автоколебательной системы при заданных значениях ее параметров в зависимости от того, при всех или не при всех начальных условиях устанавливается автоколебательный процесс. Во-вторых, мы говорим о мягком или жестком возбуждении (установлении) автоколебаний в зависимости от характера изменения амплитуды автоколебаний при медленном и непрерывном изменении того или иного параметра системы. Ясно, что для жесткого возникновения автоколебаний необходимо, чтобы при некоторых значениях этого параметра система находилась в жестком режиме. 686 НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ, БЛИЗКИЕ К ГАРМОНИЧ. ОСЦИЛЛЯТОРУ [гл. IX
Таким образом, аппроксимируя характеристику лампы полиномом пятой степени, мы в зависимости от знака коэффициента S2 получим или
мягкое (при S2<^0) или жесткое
(при S2 ^>0) возникновение автоколебаний в генераторе (при изменении его параметра а). Так как
Г d*S dul
Жесткое возоужі).
теристики
Ugi И Ug^.
„ Жесткое "»* бозВта.
Рис. 480.
S=f(ug) от и Тогда при Ugl Ugi
то интервалы сеточных смещений -Eg, в которых имеют место соответственно мягкое и жесткое возбуждения, можно определить следующим образом. Построим по заданной аппроксимированной характеристике ia = / (Ug) (рис. 480) кривую зависимости крутизны харак-и отметим на этой кривой точки перегиба
—— <Г 0, и при этих
сеточных смещениях будем иметь мягкое возбуждение автоколебаний. Наоборот, вне этого интервала (при E„<^ugl или при EgH^2)
/—-!г-0, и в генераторе будет жесткое возбуждение колебаний. \ du„ „ \ S /Ug=Eg
Заметим в заключение, что уравнения (9.45) можно проинтегрировать подобно тому, как мы это сделали в случае аппроксимации характеристики лампы полиномом третьей степени, и получить решения, количественно характеризующие процессы установления. К вопросу о мягком и жестком возникновении автоколебаний в ламповом генераторе (при изменении его параметров) мы еще вернемся в дальнейшем (в § 10 настоящей главы) в связи с теорией бифуркаций автоколебательных систем.
3. Автоколебания лампового генератора с двухзвенной ^С-це-почкой. Приведем уравнения колебаний лампового генератора с двухзвенной /?С-цепочкой (рис. 481, а):
dv
¦(u + v)
dv
dt
R
Ra
¦І (U)+СЖ + С°
d (u + v)
Tt
(см. также § 12 гл. V и § 5 гл. VIII) исключением v к одному дифференциальному уравнению второго порядка:
RaRgCCa —г^ + RgC 1 -j-
!+?+ RaS (U)]^+ U = Eg § 4]
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ВАН-ДЕР-ПОЛЯ
687
или после введения новых, безразмерных переменных
t
и — Еа
и X =
VRaRgCC
a U0
(иа— некоторый масштаб напряжения) к уравнению вида:
¦Х-\-х
у RaPa
Ч \
X, (9.48)
di
где S (и) = --крутизна характеристики ламповой группы і = і (и).
Так как характеристика ламповой группы і = Ції) — падающая
+ E „
т
"Ця
і-I(U) <tj
5)
Рис. 481.
рис. 481, б), то S(m)<^0 и для самовозбуждения генератора (для неустойчивости единственного состояния равновесия: лт = 0, Ar=O или и= Eg, V = Ea — Eg — Rai(Eg)) необходимо, чтобы
(1+?' (З-«)
где S0 =— S(Eg)—абсолютное значение крутизны характеристики ламповой группы в состоянии равновесия.
Пусть это условие выполнено и генератор самовозбуждается. Для определения амплитуды автоколебаний аппроксимируем характеристику ламповой группы і = і (и) полиномом третьей степени. Тогда
S (Eg + M0*) = - S0 + S1X + S2*2 !),
При заданном щ коэффициенты S0, S1, S2, имеющие размерность, обратную размерности сопротивления,зависят от Eg. Так как характеристика ламповой группы падающая, то S0 > 0; для того чтобы существовали автоколебания, мы будем полагать, что и S? > Q, 688 НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ, БЛИЗКИЕ К ГАРМОНИЧ. ОСЦИЛЛЯТОРУ [гл. IX
и уравнение колебаний генератора (9.48) запишется в следующем виде:
* + * = УщТа {RaS° A1 + M1 + ^ -RaS1X-RaSiX^X.
Это уравнение близко к уравнению гармонического осциллятора,
а колебания генератора близки к гармоническим только при выполнении условий:
+ Ke|Si|<1, RaSiK 1,
т. е. когда генератор близок к порогу самовозбуждения, а нелинейность характеристики мала. Введем малый параметр
"»/Ж^М1+-^1+^)]}
((Xjjk^I) и обозначим
. Г R„C „ „
V R^Si = раї, у -§s?- RaSi = I-
(<*i и а2— величины порядка единицы). Тогда уравнение колебаний генератора с двухзвенной КС-цепочкой приведется к следующему виду, пригодному для применения метода Ван-дер-Поля:
