Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
лг лг = р [ 1—оцлг — а2лга]л;. (9.50)
Укороченными уравнениями для него, очевидно, будут:
dK К Л db — = 1--_=0.
Приравнивая нулю функцию
?^)=4(1-^
получим, что система уравнений (9.50) имеет состояние равновесия (лг = 0, лг=0), соответствующее корню K= 0, и предельный цикл радиуса
5 _Fl + ^a (1 + —-
(9-51)
Состояние равновесия неустойчиво, так как
Ф'(0) = | > О ')>
Не следует забывать, что мы рассматриваем случай самовозбуждающе-
Rl С
гося генератора, когда RaS0 > 1 + (1 + МЕТОД ПУАНКАРЕ
689
а предельный цикл устойчив, поскольку
Таким образом, будет иметь место мягкий режим: автоколебания, близкие к синусоидальным, с амплитудой K0 устанавливаются при любых начальных условиях '). Их период (в обычных единицах и с точностью до членов порядка р. 3), очевидно, равен
T = 2* Y RaRgCCa.
§ 5. Метод Пуанкаре
Мы рассмотрим здесь метод интегрирования нелинейных уравнений, данный Пуанкаре в его работах по небесной механике [184, 185]. Этот метод, несмотря на существенные ограничения, накладываемые и на выбор уравнения и на поставленные задачи, все же охватывает очень многие важные случаи и дает ответ на ряд существенных для практики вопросов.
Мы будем предполагать, что наше нелинейное уравнение (или система уравнений) зависит от некоторого параметра и при определенном значении н = (например, при р. = 0) обращается в уравнение или систему уравнений, решение которых нам хорошо известно, например, в линейное уравнение или систему линейных уравнений.
Мы изучим нелинейное уравнение для значений р., мало отличающихся от |jl0. Далее мы будем рассматривать только периодические решения нелинейного уравнения (это ограничение также лежит в существе метода). Для определенности мы предположим, что наша система при |JL = 0 обращается в линейную с постоянными коэффициентами. Ход рассуждений является, однако, вполне общим, применимым и при других предположениях.
Итак, мы будем рассматривать систему нелинейных уравнений:
~ = ах -f by -f іIf1 {х, у, p.); ^jL = CxJdyAr р./а (дг, у, и), (9.52)
где а, Ь, с, d и — константы; считаем, что р. достаточно мало. Далее будем считать, что Z1 и /а являются голоморфными функциями X, у и |л, т. е. что их можно разложить в сходящиеся
') Если аппроксимировать характеристику ламповой группы 1-і (и) полиномом пятой степени, то получаются как мягкий, так и жесткий режимы возбуждения автоколебаний в зависимости от знака коэффициента при Aa в выражении для крутизны характеристики. 690 НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ, БЛИЗКИЕ К ГАРМОНИЧ. ОСЦИЛЛЯТОРУ [гл. IX
степенные ряды по лг, у, [J. (по крайней мере при малых значениях переменных).
Рассматривая нелинейные члены как результат малого искажения линейной системы (получающейся при [j, = 0), мы поставим своей задачей изучить, для каких исходных периодических решений линейной системы существуют периодические же (хотя бы и с другим периодом) решения нелинейной системы, обращающиеся в исходные при [J. = 0, и при каких условиях (т. е. при каких f1 и /2) эти периодические решения нелинейной системы будут устойчивыми.
Рассмотрим сначала случай р. = 0. Уравнения переходят в
^ = ах J by, l[L = cxJdy. (9.53)
Исключение у приводит к уравнению
х-{a Jd) X J (ad —be) X = Q. (9.53а)
Необходимая предпосылка дальнейших рассмотрений состоит в том, что полученная линейная система (9.53) или уравнение (9.53а) должна сама иметь периодические решения.
Это значит, что характеристическое уравнение
Xа — (a -f d) X -f (ad — be) = 0 должно иметь чисто мнимые корни, т. е. должно быть
a b
(ajd) = 0,
с d
>0. (9.54)
Тогда
X1 = JjVad — be, X2 =—jVad—be,
или, если ввести обозначение |X11 = ]Х21 =W1 = -)- y^ad — be, то можно сказать, что решение уравнения (9.53а) имеет вполне определенную частоту Oi1, определяемую самим уравнением. Фаза же и амплитуда периодического решения не задаются системой и определяются начальными условиями. Произвольность фазы очевидна: время не входит явно в (9.53а), и поэтому начинать отсчет можно с любого момента ^0 (но разность фаз между х и у и отношение амплитуд х и у вполне определены системой: достаточно подставить значение для л: во второе из уравнений (9.53)).
Итак, мы убедились, что если выполнены условия (9.54), то наша система (9.53) имеет бесчисленное множество периодических решений, отличающихся одно от другого амплитудой и фазой. Эти решения имеют вид:
X = Kcos (O)1* Jy)-, у = кК sin (<V -fx + Xr), МЕТОД ПУАНКАРЕ
691
где k ч х' определяются через коэффициенты уравнений (9.53), а К и х произвольны. В общем виде
X = Vtit, X, КУ, y = %(t, X, К),
где Cp0 И (J)0-периодические функции t С периодом ~г "X и К —
.произвольные постоянные. Такой общий вид будут иметь решения, если при [JL = O наша система становится нелинейной, но консервативной, соответствующей случаю центра.
Так как отсчет времени можно начинать с произвольного момента, то без всякого ограничения общности можно считать ^ = 0, и тогда решение нашей линейной системы может быть написано в виде:
