Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Теория для простоты рассуждений приводится в тексте для частного случая, когда в уравнении (?) f (х, Jfc; |х) не зависит от |х. Если / (х, х; |х) — многочлен (X, коэффициенты которого в свою очередь полиномы по X и X, то формулы, относящиеся к первому приближению для уравнений (9.2), например формулы (9.13а) и (9.14а), сохраняют свою силу и для уравнения (?), если только / (?, і]) заменить через / (?, tj; 0).
*) Для лампового генератора с колебательным контуром в цепи сетки это уравнение было получено в § 6 гл. I (см. уравнение (1.36)). К этому же уравнению приводятся и уравнения колебаний генератора с контуром в цепи анода (рис. 465, б):
(см. § 4 гл. III) путем дифференцирования первого из них и подстановки
dl_
dt ~~ M- 652 НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ, БЛИЗКИЕ К ГАРМОНИЧ. ОСЦИЛЛЯТОРУ [гл. IX
и
Это уравнение заменой переменных t = ш0^.т, х = — , где
и о
(U0 = L И H0 — некоторое постоянное напряжение (новые пере-
у Lb
менные /нов и X являются безразмерными), преобразуются в уравнение
x-f X = |J, [— 1 -fas(x)]x, (9.3)
в котором [X = W0RC — затухание колебательного контура, a = (Sa = S(Eg)— крутизна характеристики лампы в рабочей точке) и S (х) = ^ (Eg + х)--приведенная, безразмерная крутизна лампы
оо
(s(x) имеет величину порядка единицы). Очевидно, уравнение (9.3) близко к уравнению гармонического осциллятора при
ц<1, ^a = W0MS0 < 1,
т. е. мы можем рассматривать ламповый генератор как систему, близкую к гармоническому осциллятору, если затухание колебательного контура и обратная связь в генераторе являются достаточно малыми величинами1).
Для решения уравнений вида (9.1) с достаточно малыми р. разработан ряд асимптотических (приближенных) методов, из которых в настоящей главе будут изложены два: метод медленно меняющихся амплитуд (метод Ван-дер-Поля [186]) и метод Пуанкаре [184, 185]. Первый из них дает возможность найти асимптотические решения
Если же затухание колебательного контура генератора ш0 RC не мало, то приведение уравнения колебаний генератора к виду (9.1) должно быть сделано иначе. Введем S1 (х) = S(Eg + и0х) — S0 = SJ ? (х) — отклонение крутизны характеристики от ее значения в состоянии равновесия, обусловленное, конечно, нелинейностью характеристики лампы (под SJ мы можем понимать значение S1 (лго) при каком-либо фиксированном значении х0, определяющее порядок величины значений S1 (л:) в интересующем нас интервале значений х). Тогда уравнение лампового генератора можно записать в виде:
X +X = и0 [— RC + MS0 + MSJif (Л;)] X.
Это уравнение будет близким к уравнению гармонического осциллятора при других условиях, а именно при
со01 MS0 — I < 1 и (O0MS1^l1
т. е. вблизи границы самовозбуждения генератора и при малой нелинейности
характеристики лампы. Обозначив [л = ш0 (MS0 — RC) и ? — -rjx— ' .-,, мы
УИоо — оС
приведем уравнение генератора к виду: т. е. к виду (9.1). МЕТОД ВАН-ДЕР-ПОЛЯ
653
уравнения (9.1) (тем более точные, чем меньше параметр ja) как для периодических движений, так и для процессов установления периодических движений или состояний равновесия. Второй (метод Пуанкаре) позволяет найти периодические решения уравнения (9.1) в виде рядов по степеням параметра ja (т. е. принципиально с любой степенью точности, если только эти ряды сходятся)1).
§ 2. Метод Ван-дер-Поля
Чтобы исследовать систему уравнений (9.2) при достаточно малых значениях параметра ц, можно воспользоваться следующим приближенным методом исследования нелинейных систем, который будем называть «методом медленно меняющихся амплитуд» или методом Ван-дер-Поля [186, 187, 190, 35, 36]. Именно, вместо уравнений (9.2) можно рассматривать другие, составленные по определенному рецепту, вспомогательные, так называемые укороченные уравнения Ван-дер-Поля, которые позволяют сравнительно просто получить приближенные решения исходных уравнений (тем более точные, чем меньше значение параметра |л). В частности, задача отыскания периодических решений уравнений (9.2) (задача отыскания предельных циклов на фазовой плоскости х, у) сводится к несравненно более простой задаче нахождения состояний равновесия укороченных уравнений. Следует отметить, что метод Ван-дер-Поля является адекватным методом исследования нелинейных систем, в том смысле, что этот метод учитывает специфику нелинейных систем, их характерные черты, так как укороченные уравнения, так же как и исходные уравнения, являются нелинейными.
Перейдем к составлению укороченных уравнений для интересующей нас системы (9.2).
Прежде всего заметим, что при р, = 0 система (9.2) превращается в уравнения обычного гармонического осциллятора; их решения, как известно (см., например, §§ 1 и 2 гл. I), имеют вид:
X = a cost b sin t,
у = — a sin t b cos t
') Метод Ван-дер-Поля и метод Пуанкаре пригодны и для решения неавтономных уравнений вида:
х+х — (X/ (X, X, t),
где р. — достаточно малый положительный параметр, а также обобщаются на системы (и автономные, и неавтономные), близкие к консервативным системам с любым числом степеней свободы [107, 41].
