Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
внение привести к виду:
d^ I d^ I • ft О п >
где b ^ Mл Г (7'3)
a =-T=L= > 0 и ? = -^>0. У7 mga r mga )
Прежде чем переходить к исследованию этого уравнения, мы покажем, в каких случаях могут быть приведены к такому же уравнению задачи о работе синхронного мотора и о параллельной работе генераторов.
В случае синхронного мотора через & можно обозначить угол между направлениями магнитных полей статора и ротора. M0 в этом случае выражает момент, действующий на мотор со стороны нагрузки (нагрузку мы считаем постоянной). Так как момент, действующий со стороны нагрузки, стремится замедлить вращение ротора, то мы должны здесь, гак же как и для маятника, написав момент в правой части со знаком плюс, считать угол 0 положительным, когда поле ротора отстает от пол і статора. Кроме постоянного момента, действующего со стороны нагрузки, на ротор действует момент со стороны сил трения и в результате электрического демпфирования. Момент этих сил можно считать пропорциональным угловой скорости. И так как эти силы препятствуют движению, то момент их можно выразить в виде
члена —в правой части, причем ?^>0. Но кроме момента
со стороны нагрузки и сил трения на ротор мотора действует момент, возникающий в результате взаимодействия полей статора и ротора. Этот момент есть функция угла 0, причем он направлен гак, что стремится уменьшить угол |&| (ускорить движение отстающего ротора). Следовательно, мы можем обозначить этот момент через —/(ft), причем / имеет тот же знак, что и и вместе с ft обращается в нуль. Мы можем теперь сумму всех действующих на маятник с постоянным моментом
485
ротор моментов приравнять, произведению момента инерции на угловое ускорение; получим'):
td4 ,db
Что касается вида функции /(8), характеризующей взаимодействие' полей статора и ротора, то при известных упрощающих предположениях для этого взаимодействия получается синусоидальная зависимость. Заменяя /(8) через sin 8,. мы получим уравнение, вполне аналогичное тому, которое было получено для маятника (7.3).
В случае генератора, работающего в общую сеть параллельно с другими машинами, через 8 следует обозначить угол опережения ротора рассматриваемого генератора по отношению к роторам других (вообще говоря, значительно более мощных) машин, а через M0 — постоянный момент со стороны двигателя, вращающего данный генератор (при таком выборе опять M0 стремится увеличить 8). Демпфирующий момент по-прежнему равен —Ь^. Кроме того, в случае
генератора, работающего в общую цепь, при наличии сдвига 8 возникает электромеханический момент, действующий на данный генератор со стороны других, работающих с ним в параллель2). Этот момент есть функция от 8 и стремится уменьшить |8|. Поэтому он должен быть равен — /($), где /(8) имеет тот же знак, что и 8; при известных предположениях он также может быть принят равным sin 8. Для исследования уравнения (7.3) введем новую переменную
Z = -J^. Мы получим систему двух уравнений первого порядка:
g = _a*-sin» + fl; fz = z. (7.4)
Исключая т, можем получить одно уравнение первого порядка:
z~ = — az — sin0 + ?. (7.5)
Исследование уравнения (7.5) мы начнем с частного случая а = 0 (консервативная система). Уравнение в этом случае принимает вид:
= ? -sin 8. (7.6)
1J Строго говоря, мы должны были бы рассматривать взаимодействие генераторов, а не только действие всех остальных генераторов на данный.
*) Заметим, что для неподвижной системы отсчета уравнение движения ротора имеет вид:
где со — угловая скорость оси магнитного поля статора, а ф — угол поворота ротора. Полагая ft = u>t — получим уравнение, приведенное в тексте, 486
СИСТЕМЫ c ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ФАЗОВОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ [гл. VII
После разделения переменных и интегрирования получим решение:
^L ^ = cos 0+ ?O +C1
z = ±]/~2(cosO + ?O)-|-C. (7.7)
Исследуем теперь поведение интегральных кривых (7.7), изображая их на развертке цилиндра. Прежде всего, согласно (7.6) особыми точками будут точки (О, 0), где О— корни уравнения
/(О, ?) = P-Sin 0 = 0. (7.8)
Очевидно, при имеем два положения равновесия: O=Q1 и
O = O2 = Tc-O1, где O1 = aresin ? ^O ^fl1 =^yj I ПРИ ?=l эти положения равновесия сливаются ^O1 = O4 = yj и ПРИ не существуют. Соответствующая бифуркационная диаграмма приведена на рис. 321. Там область, в которой /(f), ?)^>0, заштрихована; устойчивым состояниям равновесия (центрам) соответствуют точки линии,
начерченной жирно с черными точками и для которой O = O1, неустойчивым состояниям равновесия (седлам 0 = O2) — точки тонкой линии с кружками. Значение ? = 1 является, очевидно, бифуркационным.
Для построения интегральных кривых воспользуемся приемом, указанным в § 3 гл. II. Построив на вспомогательной плоскости 0,_у кривую
_у = 2 (cos 0 ?0) (7.9)
Рис. 321.
и расположив под ней развертку фазового цилиндра, нетрудно построить на развертке для каждого заданного ? семейство интегральных кривых (7.7). Построение интегральных кривых на плоскости 0, Z сведется к тому, что, задавая разные значения С, мы будем извлекать корень из суммы С-{-у и откладывать его вверх и вниз по оси z. При заданном С каждому значению у, для которого _у-|-С^>0, будут соответствовать две точки на плоскости 0, z, а для значений у, для которых _у-|-С<[0, это не будет иметь места, так как значения для Z будут получаться мнимые.
