Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
равновесия (B2, 0) — всегда седло. При а = 0 первое состояние равновесия превращается в центр.
Обозначим далее правые части уравнений (7.4) через F и Ф (F = — az—sin 8-(-?, Ф=2). Тогда
фі + F;=—а<0
(7.12)
на всем фазовом цилиндре. Поэтому согласно критерию Бендиксона для траекторий на фазовом цилиндре (см. § 1 настоящей главы) динамическая система (7.4) не имеет на фазовом цилиндре замкнутых траекторий, не охватывающих цилиндр, и может иметь самое большее один предельный цикл, охватывающий цилиндр. Этот предельный цикл, если он существует, обязательно устойчив, ибо согласно (7.12) его характеристический показатель h = — а 0 и лежит целиком на верхней половине цилиндра (целиком в области z^>0). § 3] маятник с постоянным моментом. неконсерв. случай 491
Прежде всего ясно, что система (7.4) не может иметь замкнутых траекторий, охватывающих цилиндр и пересекающих линию г = 0. В самом деле, предположив существование замкнутой траектории, пересекающей линию г = 0 (пересечение должно иметь место по крайней мере в двух точках; рис. 330), мы придем к заключению, что она не может охватывать цилиндр, так как при
da / da \
переходе через ось z = O изменяется знак !напомним, что -J^-zJt и по"
этому существует такой интервал а' < а < а", в котором рассматриваемая замкнутая траектория не проходит. Следовательно, замкнутые фазовые траектории, охватывающие цилиндр, могут лежать только или целиком в области г < 0 или целиком в области z > 0.
Далее, интегрируя уравнение (7.5), которое можно также записать в виде:
1 d (z2)
2 dx :
¦ az — sin & р,
по замкнутой траектории Z = Z0 (а), охватывающей цилиндр (мы предполагаем, что такая траектория существует), в пределах от 9„ до а„ -(- 2п, получим:
»0 + 2*
— о j Z0 (a) da + = о,
ибо z0 (»0 + 2я) = z0 (»„). Для предельного цикла, охватывающего ци- Рис ggQ линдр и лежащего целиком в области Z < 0, выполнение этого равенства
невозможно в силу условия ? > 0. Таким образом, если предельный цикл, охватывающий цилиндр, существует, то он лежит целиком в области z > 0.
Рассмотрим теперь вопрос о существовании этого предельного цикла. При этом мы будем отдельно рассматривать случаи ? 1 и Начнем с первого из этих случаев.
I- Р>1-
Чтобы убедиться в существовании периодических решений z(0), достаточно, как уже указывалось, отыскать два таких частных решения Zi (О) и Zi (0), чтобы для них удовлетворялись условия:
(А)
Z1 (0 + 2«) ^z1 (0), zs(& + 2*)Ssz, (9)
(В)
при каких-нибудь 0. Первое из этих решений можно найти сразу. Действительно, всякое такое решение z1 (0), для которого при некотором O0 z1 (O0) , будет как раз искомым решением, ибо
выше синусоиды z=^~sin всегда ||<С0 (Рис- 33!) и> следовательно, z1 (O0) sg z1 (O0 — 2it), что удовлетворяет условию (А). 492 системы c цилиндрической фазовой поверхностью [гл. vii
Для отыскания второго решения, удовлетворяющего условию (В), рассмотрим интегральную кривую, проходящую через точку А
Z
(рис. 332), с координатами 0 = у и z = ^ g 1 , т. е. через точку,
3 — sin 9
в которой синусоида Z = -—-- имеет минимум. Проследим ход
интегральной кривой справа от точки А. Так как между синусоидой
dz
и осью ft щ то с возрастанием ft кривая
I должна итти вверх и в некоторой точке Q пере-* сечь синусоиду. В этой точке интегральная кривая I имеет горизонтальную касательную, так как си-
•з нусоида есть изоклина ^ = 0. Дальше интеграль-
I ная кривая опускается вниз и пересекает прямую
J 0 = у в точке М, лежащей не ниже точки В
(так как синусоида есть изоклина ^- = 0, то интегральная кривая должна пересечь ее, имея горизонтальную касательную; нетрудно видеть, что это возможно только в точке В или после точки В). Следовательно, рассматриваемая нами интегральная кривая соответствует решению, для которого
Z2 (y + 2ic )=sz2 (у),
т. е. удовлетворяет условию (В).
Так как особых точек в рассматриваемом случае (?]> 1) нет, то между двумя решениями Z1 и Zi в силу непрерывности должно существовать периодическое решение, для которого Z0 (ft -[- 2ic) = Z0 (ft). Мы уже показали, что это периодическое решение — единственное и устойчивое. Соответствующий ему предельный цикл, охватывающий цилиндр, изображен на рис. 333.
§ 3] маятник с постоянным моментом. неконсерв. случай 493
II. 0<?<l.
Для выяснения условий существования предельного цикла, охва-
последования точечного преобразования верхней половины образующей фазового цилиндра 8 = S2, проходящей через седло (д2, 0), самой в себя; на развертке цилиндра (рис. 334—336) это преобразование будет преобразованием полупрямой Z: 8 = 8а — 2тг, z^s 0 в полупрямую Z': 8 = O2, Z 5=0. Обозначим через S и s' ординаты точек этой образующей и их последующих, если последние существуют (s, s' 0). Неподвижная точка s* преобразования, если таковая существует, будет являться точкой пересечения предельного цикла, охватывающего цилиндр, с образующей 8 = 8а. Как мы видели, этот предельный цикл может лежать только целиком в области Поэтому необходимым и достаточным условием его существования является существование неподвижной точки S* 0 рассматриваемого точечного преобразования полупрямой & = 8a, 0 осуществляемого траекториями системы (7.4),
