Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Андронов А.А. -> "Теория колебаний " -> 185

Теория колебаний - Андронов А.А.

Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний — М.: Физ-мат литература, 1959. — 916 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyakolebaniy1959.pdf
Предыдущая << 1 .. 179 180 181 182 183 184 < 185 > 186 187 188 189 190 191 .. 335 >> Следующая


интересовать эти замкнутые траектории потому, что им соответствуют периодические движения и периодические решения уравнения интегральных кривых

dz_F(%, z)

db Ф(», г)' к '

Поскольку эти решения периодические с периодом 2тс, то они удовлетворяют условию Z (д 2тс) = Z (&) при любом 8 '). Для того чтобы обнаружить наличие таких периодических решений, можно, например, воспользоваться следующим приемом. Если существуют два частных решения уравнения (7.2) Z1 (?)) и Zt (&), для которых при некотором O0

г, (»„ + 2тс) г, (O0), га (»„ + 2тс) < га (O0),

и если между интегральными кривыми, соответствующими этим решениям, нет особых точек, то в силу непрерывной зависимости решений от начальных условий можно утверждать, что между Z1 (&) и Zss(O) существует периодическое решение, для которого

2(»0 + 2ТС) = г(»0)

и, следовательно,

Z (0 -[- 2тс) = Z (0)а)

(в общем случае, конечно, нельзя утверждать, что это периодическое решение единственно).

Отыскание самих предельных циклов, охватывающих цилиндр, определение их числа и устойчивости могут быть проведены путем построения точечного преобразования какой-либо образующей цилиндра O = O0 самой в себя. Если через точки некоторого отрезка (L) образующей й = проходят фазовые траектории, охватывающие цилиндр (рис. 320), то эти точки имеют последующие на том же отрезке, и мы можем построить функцию последования

z'=f (г)

1J Мы считаем, что Я и г суть непрерывные функции времени t\ тогда угловая координата & при обходе изображающей точки вокруг цилиндра будет изменяться (возрастать или убывать в зависимости от направления обхода) на 2я; следовательно, каждой точке фазового цилиндра мы сопоставляем не одно, а счетное множество значений угловой координаты, отличающихся друг от друга на 2я. Таким образом, сохраняя непрерывность зависимости & от времени t, мы вынуждены отказаться от однозначности соответствия точек фазового цилиндра и их координат.

Очевидно, функции Ф(&, г) и F(b, г) — правые части уравнений движения системы (7.1) — обязательно должны быть периодически функциями угла & с периодом 2я.

s) Мы, конечно, предполагаем, что условия теоремы Коши о существовании и единственности решения дифференциального уравнения для системы уравнений (7.1) выполнены. МАЯТНИК С ПОСТОЯННЫМ МОМЕНТОМ

483

для интересующего нас точечного преобразования1). Неподвижные точки этого точечного преобразования z*, т. е. точки, определяемые уравнением

Z= f (Z),

являются точками пересечения замкнутых фазовых траекторий (предельных циклов), охватывающих цилиндр, с образующей цилиндра 8=:80. Согласно теореме Кенигса предельный цикл устойчив, если

и неустойчив, если

!/'(**) I >1.

Если известно само решение, соответствующее предельному циклу, охватывающему цилиндр, 0=:0(^), Z = Z (t), то устойчивость этого предельного цикла может быть определена путем вычисления его характеристического показателя т

А = г(01 +5[»(0. z(t)))dt,

Рис. 320.

где T — период периодического движенияа). Именно, предельный цикл устойчив при и неустойчив при 0 (доказательство этого утверждения полностью совпадает с приведенным в § 8 гл. V).

При исследовании фазового портрета динамических систем с цилиндрической фазовой поверхностью известную помощь могут оказать критерии Бендиксона и Дюлака, изложенные ранее (в §§ 9 и 11 гл. V) для случая фазовой плоскости. Нетрудно видеть, что если условия критерия Бендиксона или критерия Дюлака выполнены в некоторой области, заключенной между двумя замкнутыми кривыми, охватывают,ими фазовый цилиндр, то в этой области не существует замкнутых фазовых траекторий, не охватывающих цилиндр, и не может быть более одной замкнутой фазовой траектории, охватывающей цилиндр.

§ 2. Маятник с постоянным моментом

Цилиндрическое фазовое пространство целесообразно применять для отображения поведения ряда электромеханических систем, например синхронного электромотора, генератора переменного тока,

') Как и в случае фазовой плоскости, вычисление' функции последования наиболее просто проводится для кусочно-линейных систем. Пример такой системы приведен в § 10 гл. ViII.

s) Функция г является периодической, Т. е. Z (І + Т) = Z (t), в то время как для функции Ь (t), в силу ее непрерывности, & (t + Т) = 0 (*) ± 2п.

16' 484

СИСТЕМЫ c ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ФАЗОВОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ [гл. vii

работающего в общую сеть параллельно с другими машинами, и т.д. Все эти системы приводят при определенных упрощающих предположениях к рассмотрению одной и той же математической задачи, и потому мы рассмотрим только одну из этих систем, именно обычный маятник с «линейным трением», находящийся под действием постоянного вращающего момента. Если обозначить этот постоянный момент через M0, то мы получим для движения маятника уравнение

d^ 1 Ad9 I ¦ ft

1W + b Tt + mSa Sln 0 = Mv

где I—момент инерции маятника, a b — момент сил трения, действующих на маятник при угловой скорости, равной единице. Вводя

-і Г mga ,

новое независимое переменное т = I/ можно полученное ура-
Предыдущая << 1 .. 179 180 181 182 183 184 < 185 > 186 187 188 189 190 191 .. 335 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed