Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
интересовать эти замкнутые траектории потому, что им соответствуют периодические движения и периодические решения уравнения интегральных кривых
dz_F(%, z)
db Ф(», г)' к '
Поскольку эти решения периодические с периодом 2тс, то они удовлетворяют условию Z (д 2тс) = Z (&) при любом 8 '). Для того чтобы обнаружить наличие таких периодических решений, можно, например, воспользоваться следующим приемом. Если существуют два частных решения уравнения (7.2) Z1 (?)) и Zt (&), для которых при некотором O0
г, (»„ + 2тс) г, (O0), га (»„ + 2тс) < га (O0),
и если между интегральными кривыми, соответствующими этим решениям, нет особых точек, то в силу непрерывной зависимости решений от начальных условий можно утверждать, что между Z1 (&) и Zss(O) существует периодическое решение, для которого
2(»0 + 2ТС) = г(»0)
и, следовательно,
Z (0 -[- 2тс) = Z (0)а)
(в общем случае, конечно, нельзя утверждать, что это периодическое решение единственно).
Отыскание самих предельных циклов, охватывающих цилиндр, определение их числа и устойчивости могут быть проведены путем построения точечного преобразования какой-либо образующей цилиндра O = O0 самой в себя. Если через точки некоторого отрезка (L) образующей й = проходят фазовые траектории, охватывающие цилиндр (рис. 320), то эти точки имеют последующие на том же отрезке, и мы можем построить функцию последования
z'=f (г)
1J Мы считаем, что Я и г суть непрерывные функции времени t\ тогда угловая координата & при обходе изображающей точки вокруг цилиндра будет изменяться (возрастать или убывать в зависимости от направления обхода) на 2я; следовательно, каждой точке фазового цилиндра мы сопоставляем не одно, а счетное множество значений угловой координаты, отличающихся друг от друга на 2я. Таким образом, сохраняя непрерывность зависимости & от времени t, мы вынуждены отказаться от однозначности соответствия точек фазового цилиндра и их координат.
Очевидно, функции Ф(&, г) и F(b, г) — правые части уравнений движения системы (7.1) — обязательно должны быть периодически функциями угла & с периодом 2я.
s) Мы, конечно, предполагаем, что условия теоремы Коши о существовании и единственности решения дифференциального уравнения для системы уравнений (7.1) выполнены.МАЯТНИК С ПОСТОЯННЫМ МОМЕНТОМ
483
для интересующего нас точечного преобразования1). Неподвижные точки этого точечного преобразования z*, т. е. точки, определяемые уравнением
Z= f (Z),
являются точками пересечения замкнутых фазовых траекторий (предельных циклов), охватывающих цилиндр, с образующей цилиндра 8=:80. Согласно теореме Кенигса предельный цикл устойчив, если
и неустойчив, если
!/'(**) I >1.
Если известно само решение, соответствующее предельному циклу, охватывающему цилиндр, 0=:0(^), Z = Z (t), то устойчивость этого предельного цикла может быть определена путем вычисления его характеристического показателя т
А = г(01 +5[»(0. z(t)))dt,
Рис. 320.
где T — период периодического движенияа). Именно, предельный цикл устойчив при и неустойчив при 0 (доказательство этого утверждения полностью совпадает с приведенным в § 8 гл. V).
При исследовании фазового портрета динамических систем с цилиндрической фазовой поверхностью известную помощь могут оказать критерии Бендиксона и Дюлака, изложенные ранее (в §§ 9 и 11 гл. V) для случая фазовой плоскости. Нетрудно видеть, что если условия критерия Бендиксона или критерия Дюлака выполнены в некоторой области, заключенной между двумя замкнутыми кривыми, охватывают,ими фазовый цилиндр, то в этой области не существует замкнутых фазовых траекторий, не охватывающих цилиндр, и не может быть более одной замкнутой фазовой траектории, охватывающей цилиндр.
§ 2. Маятник с постоянным моментом
Цилиндрическое фазовое пространство целесообразно применять для отображения поведения ряда электромеханических систем, например синхронного электромотора, генератора переменного тока,
') Как и в случае фазовой плоскости, вычисление' функции последования наиболее просто проводится для кусочно-линейных систем. Пример такой системы приведен в § 10 гл. ViII.
s) Функция г является периодической, Т. е. Z (І + Т) = Z (t), в то время как для функции Ь (t), в силу ее непрерывности, & (t + Т) = 0 (*) ± 2п.
16'484
СИСТЕМЫ c ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ФАЗОВОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ [гл. vii
работающего в общую сеть параллельно с другими машинами, и т.д. Все эти системы приводят при определенных упрощающих предположениях к рассмотрению одной и той же математической задачи, и потому мы рассмотрим только одну из этих систем, именно обычный маятник с «линейным трением», находящийся под действием постоянного вращающего момента. Если обозначить этот постоянный момент через M0, то мы получим для движения маятника уравнение
d^ 1 Ad9 I ¦ ft
1W + b Tt + mSa Sln 0 = Mv
где I—момент инерции маятника, a b — момент сил трения, действующих на маятник при угловой скорости, равной единице. Вводя
-і Г mga ,
новое независимое переменное т = I/ можно полученное ура-