Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
к устойчивому фокусу или узлу). Эта область показана штриховкой на рис. 338.
Физический смысл полученных результатов совершенно ясен. Если в системе существует трение, пропорциональное скорости, и на нее действует постоянный вращающий момент, то работа, затрачиваемая
на преодоление сил трения, очевидно, растет вместе со скоростью,
Р<1 0=-3,,
Сепаратриса^ Седло УстобчиИ. фокус
Рис. 338.
Рис. 339.
в то время как работа внешних сил остается неизменной. Поэтому, если ?^>l и, значит, постоянный момент внешних сил настолько велик, что он превосходит наибольшее значение момента силы тяжести, то он будет при любых начальных условиях раскручивать маятник до тех пор, пока не установится баланс между энергией, рассеиваемой на трение, и работой внешних сил. Наоборот, если PCl и, значит, момент внешних сил настолько мал, что наибольший момент силы тяжести его превосходит, то внешний момент сам по себе не в состоянии «провернуть» маятник. Тогда маятник может начать «провертываться» только при известных начальных условиях. Но это движение может превратиться в периодическое только при условии, что энергия, рассеиваемая на трение за один оборот, в конце концов будет равна работе внешних сил, создающих постоянный момент. А так как, кроме того, нужны соответствующие начальные условия, именно достаточно большая начальная скорость, то потери энергии на трение при данном а не могут быть сколь угодно малы (так могло бы быть только при условии, что маятник может дви- задача жуковского о планирующем полете
497
гаться сколь угодно медленно). Значит, чтобы потери на трение за оборот не превосходили определенной величины (равной работе внешних сил за оборот), нужно, чтобы а было достаточно мало, меньше, чем некоторое критическое значение а0.
Таким образом, все наши результаты получают вполне наглядное истолкование. Конечно, в случае синхронного мотора и параллельно работающих машин это истолкование будет более сложным-
§ 4. Задача Жуковского о планирующем полете
В заключение главы рассмотрим задачу Жуковского [64] о планирующем полете планера (самолета с выключенным мотором, птицы), происходящем в некоторой вертикальной плоскости (рис. 340). Обозначим: 0 — угол наклона траектории, V — скорость центра тяжести планера, т— масса планера, F — площадь его крыльев, g—ускорение силы тяжести, р — плотность воздуха, Cx и Cy — аэроди-
Гориттш
2 PrcxV1
і
намические коэффициенты
силы сопротивления и Рис. 340.
подъемной силы планера.
Тогда уравнения движения центра тяжести планера для тангенциальной и центростремительной компонент ускорения запишутся в виде:
т = — mg sin & — у рFCxVq, mv Jf- — mg cos 0 -(- ~ pFCyV*.
(7.13)
Пусть момент инерции планера (относительно центра тяжести) настолько мал, а стабилизирующий момент сил, развиваемых хвостовым оперением, настолько велик, что можно пренебречь изменениями угла атаки планера (изменениями угла между его продольной осью и траекторией его центра тяжести) и считать его постоянным; тогда постоянными будут и коэффициенты Cx и Cy в уравнениях (7.13). Сделав замену переменных
__V = V0 у,
-if 2mg У р
¦ та скорость горизонтального полета, при которой
где V0 - „
VtCy
вес планера уравновешивается подъемной силой, и 498 системы c цилиндрической фазовой поверхностью [гл. vii
мы приведем уравнения (7.13) к следующему безразмерному виду: у = — sin & — ay1 = F (&, у), \
где точкой сверху обозначено дифференцирование по новому, безразмерному времени и
Cx
(т. е. равно отношению силы сопротивления планера к его подъемной силе).
Поскольку состояния (&-(-2іг, у) и (&, .у) являются состояниями физически тождественными (правые части уравнений (7.14) являются периодическими функциями угла & с периодом 2тс), мы должны взять в качестве фазовой поверхности круговой цилиндр (по его образующей будем откладывать величину у, пропорциональную скорости v, а по направляющей — угол &). Исключив случай полета планера «хвостом вперед», мы ограничимся рассмотрением фазовых траекторий только на верхней половине цилиндра (только при у ^ 0). Уравнение интегральных кривых на цилиндре, очевидно, может быть записано в виде:
dy __.y(sina + ay')
da ~~ cos а—у ' у '
Заметим, что это уравнение имеет интегральную кривую у = 0, которая является особой фазовой траекторией системы (7.14) и соответствует мгновенному опрокидыванию планера в положение 0 =
= —у, как только скорость v (или j>) обращается в нуль (согласно (7.14) при v = 0 & = со, если —— у» и ® = — °°>
если _-J <;»<;-{--Ij.
Появление такой особой фазовой траектории, такого физически невозможного мгновенного опрокидывания планера в момент полной потери скорости (г; = 0) обусловлено нашим предположением о неизменности угла атаки планера. Это предположение заведомо не выполняется при малых скоростях движения планера, поскольку при малых скоростях полета будет малым и стабилизирующий момент сил, развиваемый хвостовым оперением (обеспечивающий при больших скоростях полета почти полную неизменность угла атаки).
